Kompendium matematyczne

√2 = 1,414213562… √3 = 1,732050807… √5= 2,236067977499… √7 = 2.64575131106…
√10 = 3,162277660168… 1/√2 = √2/2 = 0,70711 1/√3 = √3/3 = 0,57735

1 radian = 360°/2π ≈57,29578⁰ = 57°17'44,80625'' Radian, rad, w układzie SI uzupełniająca jednostka kąta płaskiego.
Radian to kąt płaski zawarty pomiędzy promieniami koła, wycinający z okręgu tego koła łuk o długości równej promieniowi.

Nazwy dużych liczb

tysiąc	10³	1000
milion	10⁵	1 000 000
miliard	10⁹	1 000 000 000
bilion	10¹²	1 000 000 000 000
biliard	10¹⁵	1 000 000 000 000 000
trylion	10¹⁸	1 000 000 000 000 000 000
kwadrylion	10²⁴	1 000 000 000 000 000 000 000 000
kwintylion	10³⁰	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
sekstylion	10³⁶	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Nazwy liczb

Przedrostki	Oznaczenie	Potęgi liczby 10		Nazwa liczby
piko	p	10^-12	0,000 000 000 001	bilionowa
nano	n	10^-9	0,000 000 001	miliardowa
mikro	μ	10^-6	0,000 001	milionowa
mili	m	10^-3	0,001	tysięczna
centy	c	10^-2	0,01	setna
decy	d	10^-1	0,1	dziesiąta
deka	da	10¹	10	dziesięć
hekto	h	10²	100	sto
kilo	k	10³	1000	tysiąc
mega	M	10⁶	1 000 000	milion
giga	G	10⁹	1 000 000 000	miliard
tera	T	10¹²	1 000 000 000 000	bilion
peta	P	10¹⁵	1 000 000 000 000 000	biliard
eksa	E	10¹⁸	1000 000³	trylion

Alfabet grecki

Służy np. do zapisu stałych matematycznych czy oznaczeń kątów

Jednostki miar

Jednostki podstawowe układu SI
Nazwa wielkości	nazwa jednostki	skrót literowy
długość	metr	m
masa	kilogram	kg
czas	sekunda	s
natężenie prądu	amper	A
temperatura	kelwin	K
ilość substancji	mol	mol
światłość źródła światła	kandela	cd

Jednostki długości

Jednostki najczęściej stosowane w układzie SI :
Podstawowa jednostka: 1 m
Jednostki długości malejąco:
1 km - kilometr 1 hm - hektometr 1 m - metr 1 dm – decymetr 1 cm – centymetr 1 mm - milimetr
Jednostki długości rosnąco:
1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 hm 1 km

Podstawowe zależności między jednostkami długości
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm = 0,01 hm = 0,001 km
1 km = 1000 m = 10 hm = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm = 0,1 m = 0.001 hm = 0.0001 km
1 cm - 10 mm = 0,1 dm = 0.01 m = 0.0001 hm = 0.00001 km
1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0.001 m = 0.00001 hm = 0.000001 km

Zamiana jednostek długości - zasady
1 km = 1*1000m = 1000 m ==> 1000 m = 1 km więc 1 m = 1/1000 km = 0,001 km np. 10 m = 10 * 0,001 km = 0,01km
1 dm = 10 cm ==> 1 cm = 1/10 dm = 0,1 dm np. 200 cm = 200*0,1 dm = 20 dm
1 dm = 10 cm = 10 * 10 mm = 100 mm ==> 100 mm = 1 dm ==> 1 mm = 1/100 dm = 0,01 dm np. 100 mm = 100 * 0,01 dm = 1 dm
1 cm = 10 mm ==> 1 mm = 1/10 cm = 0,1cm np. 100 mm = 100 * 0,1 cm = 10 cm
1 m = 100 cm ==> 1 cm = 1/100 m = 0,01 m np. 200 cm = 200*0,01 m = 2 m

Inne jednostki długości

Anglosaskie:

1 cal = 25,4 mm
1 stopa = 12 cali = 0.3048 m
1 jard = 3 stopy = 36 cali = 0.9144 m
1 mila angielska = 1760 jardów = 5280 stóp = 1609.344 m = 1.609344 km

1 mila morska = 1852 m = 1,852 km

Jednostki pola powierzchni

1 mm² = 1 mm * 1 mm = 0,01 cm² = 0,0001 dm² – kwadrat o boku 1 mm

1 cm²=1 cm * 1 cm = 10 mm * 10 mm = 100 mm²= 0,01 dm² – kwadrat o boku 1 cm

1 dm² = 100 cm² = 10 000 mm² - kwadrat o boku 1 dm

1 m² = 1 m * 1 m = 10 dm * 10 dm = 100 dm² = 100 cm * 100 cm = 10000 cm²= 1 000000 mm²

1 km² = 1 000000 m² = 10 000 a = 100 ha – kwadrat o boku 1 km
1 a = 100 m² = 0,01 ha – kwadrat o boku 10 m
1 ha = 100 a = 10 000 m²= 0,01 km² - kwadrat o boku 100 m

Jednostki masy

1 t = 10 q = 1000 kg = 100000 dag = 1000000 g = 1000000000 mg
1 q = 0,1t = 100 kg
1 kg = 100 dag = 1000 g = 1000000 mg = 0,001 t
1 dag = 10 g = 0,01 kg
1 g = 1000 mg = 0,1 dag = 0.001 kg
1 kg = 100 dag = 1000 g =1000000 mg
1 mg = 0,001 g

Zasada zamiany
Np.
1 kg = 100 dag ==> 1 dag = 1/100 kg = 0,01 kg

Jednostki objętości i pojemności

metr sześcienny 1 m³ = 1000 dm³= 1000000 cm³= 10⁶ cm³ = 1000000000 mm³ = 10⁹mm³ = 1000 l = 100000 cl = 1000000 ml =10⁶ ml = 10 hl
decymetr sześcienny 1 dm³= 1000 cm³ = 0,001 m3 = 1000000 mm³ = 0,001 m³ = 1 l = 1000 ml = 100 cl = 0,01 hl
centymetr sześcienny 1 cm³= 1000 mm³ = 0,001 dm³= 0.000001 m³ = 0.001 l = 1 ml = 0,1 cl = 0.00001 hl
litr 1 l = 1000 cm³ = 1 dm³= 1000000 mm³ = 1000 ml = 100 cl = 0,01 hl = 0,001 m³
hektolitr 1 hl = 100 l = 100 dm³= 10⁸ mm³ = 10⁵ cm3 = 0,1 m³ = 100000 ml = 10000 cl
mililitr 1 ml = 0,001 l = 1 cm³= 1000 mm³ = 0.001 dm3 = 10^-6 m3 = 0,1 cl = 0.00001 hl = 10^-5 hl
centylitr 1cl = 10000 mm³ = 10 cm³ = 0,01 dm³= 0.00001 m3 = 0,01 l = 0.0001 hl

Systemy liczbowe

Systemy pozycyjne: dziesiątkowy o podstawie 10 , cyfry 0, 1..9; dwójkowy o podstawie 2, cyfry 0, 1;
ósemkowy o podstawie 8, cyfry 0..7; szesnastkowy o podstawie 16, cyfry 0, 1, …9, A, B, C, D, E, F

Dziesiątkowy – dziesiętny system pozycyjny – cyfry arabskie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

10 jednostek rzędu niższego daje jednostkę rzędu bezpośrednio wyższego:

10 jedności – 1 dziesiątka, 10 dziesiątek – setka 10 setek – tysiąc

10 tysięcy – 1 dziesiątka tysięcy 10 dziesiątek tysięcy – 1 setka tysięcy

10 setek tysięcy – milion

1 dziesiątka	10 jedności	10	10¹
1 setka	10 dziesiątek	100	10²
1 tysiąc	10 setek	1000	10³
…
1 milion	1 000 000	100000	10⁶
1 miliard	1 000 000 000	1000000000	10⁹
1 bilion	milion do kwadratu		10¹²
1 trylion	milion do potęgi 3		10²⁴
1 kwadrylion	milion do potęgi 4		10²⁴
1 kwintylion	Milion do potęgi 5		10³⁰

Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny , system arabski) – pozycyjny system liczbowy,
w którym podstawą pozycji są kolejne wielokrotności liczby 10;
do zapisu liczb potrzebne jest w nim 10 cyfr, którymi są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Liczby zapisuje się jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu,
niekiedy grupowanych po trzy (Okcydent) lub cztery (część Orientu).

Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny – przecinek dziesiętny lub kropka dziesiętna
(często w programach komputerowych oraz w krajach anglosaskich).

Przykładowo zapis „645,7” z separatorem dziesiętnym w postaci przecinka oznacza

Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.
Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów.
Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości,
gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne.
W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski.
W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabskiego.

Przykład:
234178645,7 = 2*10⁸ + 3*10⁷ + 4*10⁶ + 1*10⁵ + 7*10⁴ + 8*10³ + 6*10² + 4*10¹ + 5*10⁰ + 7*10^-1
= 2*100000000 + 3*10000000 +4*1000000 +100000 + 7*10000 + 8*1000 +6*100 +4*10 +5*1 +7*0,1

	Grupa milionów			Grupa tysięcy			Grupa jedności
	setki	dziesiątki	jedności	setki	dziesiątki	jedności	setki	dziesiątki	jedności
Liczba	2	3	4	1	7	8	6	4	5	7
Potęgi 10	8	7	6	5	4	3	2	1	0	-1

Zapis od końca:
234178645 = 7*10^-1 + 5*10⁰ + 4*10¹ + 6*10² + 8*10³+ 7*10⁴ + 1*10⁵ + 4*10⁶ + 3*10⁷ + 2*10⁸

Dwójkowy system liczbowy, system binarny – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2.
Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.
Np. 1, 10 = 2₁₀ , 11 =3₁₀ 100 = 4₁₀ 101 = 5₁₀

Rzymski system zapisywania liczb zwany też łacińskim – addytywny system liczbowy,
w podstawowej wersji używa 7 znaków: I, V, X, L, C, D, M.

W systemie rzymskim używamy znaków: I, V, X, L, C, D, M

Oznaczenia: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M -1000

Za pomocą tych znaków można zapisać liczby od 1 d0 3999.

Jest to system addytywny, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości znaków cyfrowych.
Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 400 i 900, gdzie stosuje się odejmowanie.

Zasadą jest by używać jak najmniejszej ilości znaków.

Obok siebie mogą stać najwyżej 3 znaki I, 3 znaki X, 3 znaki C lub 3 znaki M.

Obok siebie nie mogą stać znaki: V, L, D.

4 = 5-1 = IV 6 = 5+1 = VI 9 = 10 -1 = IX 11 = 10 +1 1 = XI 12 = 12 + 2 = XII

Przykłady: zapis miesięcy: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII

4 = 5-1 = IV 6 = 5+1 = VI 9 = 10 -1 = IX 11 = 10 +1 1 = XI 12 = 12 + 2 = XII

Inne przykłady:

40 = 50-10 = XL 90 = 100 – 10 = XC 400 = 500 – 100 = CD 900 = 1000 -100 = CM

1815 = MDCCCXV 1944 = MCMXLIV 1969 = MCMLXIX 1950 = MCML

Najważniejsze podzbiory liczb rzeczywistych

Liczby	Symbol	Objaśnienie	Przykłady
Naturalne	N	0, 1, 2 i kolejne lub 1, 2, 3 i kolejne To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy	1, 2, 3, 1000
Całkowite	C	Liczby naturalne, liczby do nich przeciwne i 0	1, 2, 0, -1, -5 ...
Wymierne	W	Liczby dające się przedstawić w postaci ułamka n/m, gdzie n liczba całkowita, m - liczba naturalna Rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe	0, 2, 14, 1/2, 1/3, -123/124
Niewymierne	IW	Liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi. Rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe	√2, π

Zaokrąglanie liczb

Pierwsza z cyfr którą odrzucamy: 1, 2, 3, 4 – zaokrąglamy w dół

Np. 5,4 ≌ 5; 25,21 ≌ 25,2

Pierwsza z cyfr którą odrzucamy: 5, 6, 7, 8, 9 – zaokrąglamy w górę

Np. 5,7 ~= 6; 146 ~= 150

Podstawowe prawa arytmetyki

Prawo przemienności

a + b = b + a a * b = b * a

3 + 7=7+ 8 5 * 4 = 4 * 5

Prawo łączności

(a + b) + c = a + (b + c) (a * b) * c = a * (b * c)

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)

Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania

a * (b + c) = a*b + a*c a * (b - c) = a*b - a*c

2*(5+3) = 2*5 + 2*3 2*(5-3) = 2*5 - 2*3 = 10 – 6 = 4

Działania z liczbą 0

a + 0 = 0 + a = a a – 0 = a 0 –a = -a 0 + 0 = 0 0 – 0 = 0

a * 0 = 0 * a = 0 0: a = 0 dla a <> 0 a:0 nie jest wykonalne

Prawa znaków

Wyciąganie wspólnego czynnika

+ax + bx = +(a + b) x = x(a + b) 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x

-ax – bx = -(a + b)x = -x(a + b) -2x – 3x = -(2 + 3)x = -5x

ax – bx = (a – b)x = x(a – b) 2x – 3x = (2 -3)x = (-1)x = -x

-ax + bx = -(a - b)x = -x(a –b) -2x +3x = -(2-3)x = -(-1) x = x

Otwieranie nawiasów

a + (b + c -d) = a + b + c –d 2 + (3 + 4 - 5) = 2 + 3 + 4 - 5

a – (b + c –d ) = a –b –c +d 2 – (3 + 4 - 5) = 2 – 3 - 4 + 5

Mnożenie

(+a) * (+b) = (-a) * (-b) = +a*b - znaki jednakowe

2*3 = (-2)*(-3) = 6

(+a) * (-b) = (-a) * (+b) = -a*b - znaki różne

2*(-3) = (-2)*3 = -2*3 = -6

+ * + = + - * - = - + * - = - - * + = -

Dzielenie

+a / +b = - a / -b = + a/b

10:5 = (-10) +(-5) = 10/5 = 2

-a / +b = +a / -b = - a/b

-2:3 = 2:(-3) = -2/3

+ : + = + - : - = - + : - = - - : + = -

Ułamki – reguły podstawowe

Reguła podstawowa: Wartość ułamka nie zmieni się, gdy licznik i mianownik pomnożymy
lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera

Rozszerzanie ułamków:

a/b = a*c / b*c

3/10 = (3*4)/(10*4) = 12/40

a/b ± c = (a ± b *c) / b

2/3 + 5 = (2 + 5*3) / 3 = 17/3 = 5 2/3 = 5,(6)

Skracanie ułamków

a/b = (a:n) / (b:n)

12/40 = (12:4) / (40:4) = 3/10

(a*c) / (b*c) = a/b

(3*4) / (10*4) = 3/10

Dodawanie i odejmowanie ułamków

a/c ± b/c = (a ± b) /c

2/3 + 1/3 = (2+1)/3 = 3/3 = 1

a/c ± (b + d)/c = 1/c * (a ± b ± d)

2/3 + (1 + 4)/3 = 1/3 * (2 + 1 + 4 ) = 1/3* 7 = 7/3 = 2 1/3 = 2,(3)

a/b ± c/d = (ad ± bc) /bd

2/5 + 4/7 = (2*7 + 5*4) / (5*7 = (14 + 20) / 35 = 34/35 = 0,9714…

Mnożenie ułamków

(a/b) * c = (a*c) /b

(2/3) * 5 = (2*5) / 3 = 10/3 = 3 1/3 = 3,)3)

a/b * c/d = (a*c)/(b*d)

(2/3) * (5/4) = (2*5)/(3*4) = 10/12 = 5/6 = 0,8(3)

Dzielenie ułamków

(a/b) : c = (1/b) * (1/c) = ( a: c) / b = a/ (b*c)

(2/3):5 = 0,(6)/ 5 = 0,1(3) (2/3)*(1/5) = 0,(6)*0,2 =0,1(3) (2:5) / 3 =0,4/5 = 0,1(3) 2/(3*5) = 2/15 = 0,1(3)

a/b : c/d = a/b * d/c = (a*d) / (b*c)

2/3 : 4/5 = 2/3 * 5/4 = (2*5) / (3*4 ) = 10/12 = 0,8(3)

(a:b) / (c:d) = (a*d ) / (b*c)

(2:3) / (4:5) = (2*5) / (3*4) = 10/12 = 0,8(3)

Proporcje

a : b = c : d lub a/b = c/d to a * d = b * c

a*d = b*c a = b*c /d b = a*d /c c = a*d /b d = b*c /a

iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych

Przykład:

y/x = 4 /5 à 5y = 4x y = 4x / 5

Inne proporcje

a / (a ± b) = c / (c ± d) à a*(c + d) = c*(a + b)

(a ± b) / b = (c ± d) / d à d*(a ± b) = b*(c ± d)

(a + b) / (a –b) = (c + d )/ (c – d) à (a + b)*(c - d) = (a - b)*(c + d)

Wielkości proporcjonalne

Proporcjonalność prosta

Proporcjonalność prosta – taka zależność między dwiema zmiennymi wielkościami x i y, w której ich iloraz jest stały
y/x = a = const

Dwie wielkości x i y są wprost proporcjonalne, gdy obie jednocześnie rosną albo maleją tyle samo razy,

Równanie proporcjonalności prostej:

y = a*x gdzie a jest liczbą rzeczywistą różną od 0

Zależność w proporcjonalności prostej określa funkcja liniowa.
Wykresem takiej funkcji jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych,
o współczynniku kierunkowym a (a = tangens kąt nachylenia prostej do osi x) i wyrazie wolnym b równym 0.

Obie wielkości y i x są wprost proporcjonalne.

Przykład:

10 książek kosztuje 100 zł

5 książek kosztuje y zł

y:100 = 5:10 y/ 100 = 5/10

y = 100/10 *5 = 10 *x = 50 zł

Ogólnie: x – ilość książek, y – cena książek

y = a *x x – ilość książek,

a = 10 à y = 10*x

W zagadnieniach praktycznych, mówiąc o wielkościach wprost proporcjonalnych mówimy o wielkościach przyjmujących wartości dodatnie.

Proporcjonalność odwrotna

Wielkości zmienne x i y, takie, że x i y są liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, są odwrotnie proporcjonalne,
gdy w procesie zmian ich iloczyn jest stały – zapisujemy to:
x*y = a = const , gdzie a <> 0

Liczbą a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności.

Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy ze wzrostem jednej wielkości, druga maleje tyle samo razy.

y = a/ x

Zależność w proporcjonalności odwrotnej dla 4 zmiennych można opisać wzorem y * x = c * d

Stąd y = c/d * x

Podstawiając c * d = a otrzymujemy:

y = a/x a, x, y różne od 0

Wielkości x i y nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi.

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza, że każda z wielkości jest wprost proporcjonalna do odwrotności drugiej wielkości.

Dwie wielkości odwrotnie proporcjonalne mogą przyjmować wartości ujemne.

Wykresem proporcjonalności odwrotnej wielkości x i y, gdy x <> 0, jest hiperbola o równaniu y = a/x - funkcja homograficzna.

Przykłady:

Przykład 1

15 robotników wykonuje pracę w 8 dni

4 robotników wykonuje pracę w y dni

y/8 = 15/4 y = 8*15/ 4 = 120/4 = 30 dni

y = 120/x - x – ilość robotników

y(4) = 8*15 / 4 = 120/4 = 30 dni

Ogólnie x – ilość robotników, y – ilość dni

y = a/x a = 8*15 = 120 à y = 120/x

Przykład 2

Przykładem funkcji homograficznej i proporcjonalności odwrotnej jest zależność prędkości v, drogi s i czasu t.

s = v*t

v = s/ t t = s/v

Przykład 3

Pole P prostokąta o bokach x i y = 36
P = x * y y = P/x

x * y = 36 y = 36/x x = 36/y

Przykład 4

Zakup y litrów benzyny o cenie x za litr za stałą kwotę K.
Np. K = 100 zł

K = y * x

y = K/x

y 100/ x

Liczby naturalne

Liczby naturalne N: 0, 1, 2, 3, 4, … lub 1, 2, 3, 4, ...

Działania na liczbach naturalnych

Dodawanie

a + b = c składnik + składnik = suma np. 2 + 3 = 15

Dodawanie może zawierać dowolną liczbę składników.

Przemienność: - można zmieniać kolejność składników

a + b = b + a

np. 9 +15 = 15+9

Łączność: (a + b) + c = a + (b + c)

np. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

Zero w dodawaniu: a + 0 = a

Dodawanie pisemne

Obliczając sposobem pisemnym sumę dwóch liczb, podpisujemy
jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.

1523

+ 374

1897

W rachunku pisemnym dodawanie rozpoczynamy od rzędu jedności. Jeśli w pewnym rzędzie suma wynosi więcej niż 9 jednostek,
to przenosimy dziesiątkę do rzędu wyższego.

Odejmowanie

a – b = c odjemna – odjemnik = różnica

Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania

a – b = a + (-b) = -b + a

Obliczając sposobem pisemnym różnicę dwóch liczb, podpisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.
W rachunku pisemnym odejmowanie rozpoczynamy od rzędu jedności.
W przypadku, gdy cyfra odjemnej jest mniejsza od cyfry odjemnika należy zamienić jednostki niższego rzędu na jednostki wyższego rzędu
(popularnie nazywane "pożyczaniem").

http://matematyka.opracowania.pl/odejmowanie_pisemne/

Dodawanie i odejmowanie to działania odwrotne, dlatego wynik odejmowania możesz sprawdzić dodając odjemnik do różnicy.

Jeśli w danym rzędzie wykonanie odejmowania jest niemożliwe, zamieniasz jednostkę wyższego rzędu na 10 jednostek niższego rzędu
np. 1 dziesiątkę na 10 jedności, 1 setkę na 10 dziesiątek itd.

Przykład 1: 1825 -362 = 1463

Przykład 2: 20003 -1659 = 18344

Mnożenie

a * b = c czynnik * czynnik = iloczyn

Przemienność mnożenia: a * b = b * c np. 3 * 8 = 8 * 3

Mnożenie może zawierać dowolną liczbę czynników

Łączność mnożenia: (a * b) * c = a * (b * c)

1*a = a a*1 = a a*0 = 0

Prawo rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania

(a + b)*c = a * c + b*c (a - b)*c = a * c - b*c

Mnożenie sposobem pisemnym

http://matematyka.opracowania.pl/mno%C5%BCenie_pisemne_przez_liczby_wielocyfrowe/

Przykłady

Mnożenie liczb z zerami na końcu

Nie wykonujemy mnożenia przez wewnętrzne zera.

Dzielenie

a : b = c dzielna : dzielnik = iloraz np. 24:3=8

Dzielenie przez 0 nie istnieje

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia

a : b = c a / b = c à c * b = a

Jeżeli dzielna i dzielnik są liczbami zakończone zerami to możemy przed wykonaniem dzielenia skreślić w każdej z tych liczb tyle samo zer.

Np. 35000:700 = 35:7 = 5

Własności dzielenia:

Rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania

(a + b) : c = a : b + c : b (a - b) : c = a : b – c : b np. (10+6):2 = 10:2 + 6:2 = 8

0 : a = 0 a≠0

a : a = 1 a≠0

Dzielenie z resztą ,

a : b = c r. d à a = c*b + r

np. 24:9 = 2 r. 6 bo 2*9 + 6 = 24

Dzielenie liczb sposobem pisemnym

http://www.matemaks.pl/dzielenie-pisemne-liczb.php
http://matematyka.opracowania.pl/dzielenie_pisemne_przez_liczby_jednocyfrowe/

Należy pamiętać, że dzielenie sposobem pisemnym zaczynamy od największego rzędu.
Przykłady:

Przykład dzielenia z resztą

2387 : 9

Potęgowanie – mnożenie tych samych czynników

a*a*a … * a = aⁿ n- wykładnik potęgi ( liczba czynników mnożenia), a – podstawa potęgi

a⁰ = 1 dla a ≠ 0

a*a= a² - druga potęga lub kwadrat liczby a

a*a*a= a³ - trzecia potęga lub sześcian liczby a

Przykłady:

2*2 = 2² = 4;

2*2*2 = 2³ = 8;

12⁰= 1

Kolejność wykonywania działań:

1. Działania w nawiasach

2. Potęgowanie i pierwiastkowanie

3. Mnożenie i dzielenie

4. Dodawanie i odejmowanie

Obliczenia wartości wyrażenia algebraicznego, w którym występują nawiasy, zaczyna się od działań w nawiasach najbardziej wewnętrznych.

Jeżeli w wyrażeniu algebraicznym nie ma nawiasów, to kolejność wykonywania działań jest następująca:

potęgowanie i pierwiastkowanie, potem mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania, a następnie dodawanie i odejmowanie,
również w kolejności ich występowania.

(2 + 30) – (120 – 3*4*2³) = 32 – (120 -12*8) = 32 –(120 – 96) = 32 – 24 = 8

Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko odejmowanie albo dodawanie i odejmowanie,
to działania te wykonujemy w takiej kolejności, w jakiej są zapisane, od strony lewej do prawej.

43 - 11 + 6 - 10 + 5 = 32 + 6 - 10 + 5 = 38 - 10 + 5 = 28 + 5 = 33

Jeżeli w wyrażeniu występuje dzielenie i mnożenie to wykonujemy działania w kolejności od lewej do prawej.

20:5*4:2 = 4*4:2 = 16:2 = 8

Jeżeli w wyrażeniu występuje kilka działań i nie ma nawiasów, to jako pierwsze wykonujemy mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania,
a następnie wykonujemy dodawanie i odejmowanie w kolejności ich występowania.

40 - 5 ·6 + 6 = 40 - 30 + 6 = 10 +16 = 16

Oś liczbowa

Oś liczbowa –część prostej podzielonej na równe części, zwane jednostkami, zakończonej strzałką,

(oznaczającą zwrot), z zaznaczonym punktem początkowym (zerowym) O

Porównywanie liczb

Z 2 liczb naturalnych większa jest ta, która ma więcej cyfr.
Np. a = 1234, b = 999 a> b bo a ma więcej cyfr

Porównywanie różnicowe – określamy o ile większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej.

O ile mniejsza jest liczba 15 od liczby 20?
20 – 15 = 5. Liczba 15 jest mniejsza o 5 od liczby 20

Porównywanie ilorazowe – określamy ile razy większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej.

Ile razy liczba 30 jest większa od liczby 10?
30:10 = 3 Odp. Liczba 30 jest 3 razy większa od liczby 10.

Liczbę 36 przedstaw w postaci sumy 2 liczb, tak, aby pierwsza była 2 razy większa od drugiej.
X – druga liczba, 2x – pierwsza liczba
2x + x = 36
3x = 36
x = 12 2x = 24 12 + 24 = 36 Odp. Liczba pierwsza to 24 a liczba druga to 12.

Zadania tekstowe – schemat rozwiązania:

1. Wypisujemy dane

2. Wypisujemy szukane

3. Zapisujemy rozwiązanie – obliczenia

4. Formułujemy odpowiedź.

5. Sprawdzamy, czy zadanie rozwiązane poprawnie.

Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb
Dzielnik n	Liczba dzieli się przez n …	Przykład
2	… jeśli ostatnią liczby cyfrą jest 0, 2, 4, 6, 8 – czyli liczba jest parzysta	126 – dzieli się przez 2 127 – nie dzieli się przez 2
3	Jeśli suma cyfr liczby dzieli się przez 3	123 – suma cyfr = 6 dzieli się przez 3 1234567890 dzieli się przez 3, bo suma cyfr = 45 dzieli się przez 3, a dlatego, że 4+5 =9 dzieli się przez 3
4	Jeśli liczba zapisana dwiema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 4 - 2 ostatnie cyfry tworzą liczbę dzielącą się przez 4	1234567890 nie dzieli się przez 4, bo ostatnie 2 cyfry tworzą liczbę 90, która nie dzieli się przez 4 (90 = 80 +10, 10 nie dzieli się przez 4)
5	Jeśli ostatnią cyfrą jest 0 lub 5	90 dzieli się przez 5 65 dzieli się przez 5
6	Jeśli liczba dzieli się przez 2 i przez 3	42 dzieli się przez 2 i przez 3 62 nie dzieli się przez 6
8	Jeśli 3 ostatnie cyfry tworzą liczbę (3-cyfrową) podzielną przez 8
9	Jeśli suma cyfr dzieli się przez 9	12345678 dzieli się przez 9, bo 36 się dzieli
10	Jeśli ostatnią cyfrą jest 0	160 dzieli się przez 10
11	Jeśli różnica sumy cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr na miejscach nieparzystych jest podzielna przez 11 (może być też równa zero)	12345678 nie dzieli się przez 11 bo 1-2+3-4+5-6+7-8 = -4, co nie dzieli się przez 11
12	Jeśli suma cyfr dzieli się przez 3 i przez 4	12345678 nie dzieli się przez 12 24 dzieli się przez 12
25	Jeśli 2 ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25 lub są zerami	75, 100 – dzielą się przez 25
100	Jeśli kończy się dwoma zerami	1200 – dzieli się przez 100

UŁAMKI

Ułamki zwykłe

- Licznik/Mianownik: licznik, kreska ułamkowa, mianownik, np.

Ułamek właściwy – licznik mniejszy od mianownika, np. 3/4

Ułamek niewłaściwy – licznik jest liczbą większą lub taką samą jak mianownik. np. 5/4

Liczba mieszana – złożona z całości i ułamka właściwego. np. 2¼

Rozszerzanie ułamków – mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera.

Ułamek nie zmienia wartości po rozszerzeniu.

Np. ¼ = 1*5 / 4*5 = 5/9

Skracanie ułamków – dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę.
Ułamek po skróceniu nie zmienia wartości.

15/20 = 15:5 / 20:5 = ¾

Ułamki, których nie da się już skrócić (uprościć), takie ułamki nazywamy nieskracalnymi.
np. 1/3, ¾, 6/7
Ułamki są nieskracalne, wtedy gdy licznik i mianownik nie mają takich samych dzielników większych od liczby 1.
O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1, mówimy, że są względnie pierwsze.

Ułamkiem nieskracalnym nazywamy taki ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi

NWD

Do skracania ułamków wykorzystuje się pojęcie największego wspólnego dzielnika NWD.

NWD wykorzystuje się podczas redukcji ułamków do postaci nieskracalnej (tzn. takiej, w której licznik i mianownik są względnie pierwsze).

Przykładowo największym wspólnym dzielnikiem liczb 20 i 30 jest 10, a 45 i 60 jest 15.

NWD (20, 30) = 10, bo 10 jest największą liczbą, przez którą można podzielić liczby 20 i 30.

NWD (45, 60) = 15

45/60 = 45:15 / 60/15 = ¾

Pierwsza metoda wyznaczenia NWD

20/30 = 20:10 / 30:10 = 2/3

20 |2 30 | 2

10 |2 15 | 3

5 | 5 5 | 5

1 | 1 |

2*5 = 10

Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i zaznaczamy wspólne dzielniki.
Mnożymy wspólne dzielniki i uzyskujemy największy wspólny dzielnik

Druga metoda obliczenia NWD

NWD(20, 30)

Rozkładamy obie liczby na czynniki, dopóki są one wspólne i mnożymy wspólne dzielniki

20, 30 |2

10, 15 |5

2, 3 | nie ma teraz wspólnego dzielnika – koniec obliczeń

2*5=10

NWD(20, 30) = 10

NWD(280, 150)

280, 150 | 2

140, 75 | 5

28, 15 |

NWD(280, 150) = 2*5 =10

NWD (525, 2310)

525, 2310 | 3

175, 770 | 5

35, 154 | 7

5, 22 | - nie ma już dalej wspólnego dzielnika

NWD (525, 2310) = 3*5*7 = 105

Trzecia metoda obliczenia NWD – algorytm Euklidesa

Algorytm Euklidesa jest szybkim sposobem obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb całkowitych.

Algorytm Euklidesa obliczenia NWD
Dzielimy z resztą liczbę a przez liczbę b

o jeżeli reszta = 0, to NWD(a, b) = b

o jeżeli reszta ≠ 0, to przypisujemy liczbie a wartość liczby b,
liczbie b wartość otrzymanej różnicy, a następnie wykonujemy ponownie punkt 1.

Przykład NWD (282, 78)
Rozwiązanie:

Zaczynamy od podzielenia liczby 282 przez liczbę 78 z resztą:
282 : 78 = 3, reszty 48
Otrzymaliśmy resztę różną od zera, zatem teraz podzielimy liczbę b przez różnicę.
Ten schemat będziemy powtarzać do momentu otrzymania reszty równej 0.
78 : 48 = 1, reszty 30
48 : 30 = 1, reszty 18
30 : 18 = 1, reszty 12
18 : 12 = 1, reszty 6
12 : 6 = 2, reszty 0
Otrzymaliśmy resztę równą zero, zatem szukany NWD będzie równy ostatniej niezerowej reszcie:
NWD (282, 78) = 6

NWD (20,30)

30:20 =1 r. 10 20:10 = 2, r. 0 NWD (30, 20) = 10 - największa niezerowa reszta

Porównywanie ułamków:

- jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik

- takie same liczniki, to większy jest o mniejszym mianowniku

- jeśli nie mają równych liczników ani mianowników to należy je doprowadzić do wspólnego mianownika lub licznika za pomocą rozszerzania

Skracanie ułamków – podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę

Np.

Rozszerzanie ułamków – pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera

Np.

Ułamki po skróceniu i rozszerzeniu są równe (mają tę samą wartość).

Działania na ułamkach zwykłych

Dodawanie i odejmowanie

Jeśli mają jednakowe mianowniki to dodajemy lub odejmujemy liczniki, mianownik bez zmian.

Jeśli dodajemy ułamki mieszane to dodajemy całości do całości a ułamki do ułamków.

Jeśli ułamki maja różne mianowniki, to najpierw należy je sprowadzić do wspólnego mianownika,
a potem dodać liczniki, mianowniki bez zmian.

NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność

Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność

Metody obliczenia NWW:

1) Wypisujemy kolejne wielokrotności i wybieramy najmniejszą wspólną.

Np. NWW(12, 15)

- wielokrotności 12: 12, 24, 36, 48, 60

- wielokrotności 15: 15, 30, 45, 60

NWW(12, 15) = 60

2) Druga metoda – razem rozkładamy na czynniki, aż do uzyskania 2 jedynek:

12, 15 | :3 najpierw wspólne czynniki

4, 5 | : 4 potem czynniki kolejno z każdej liczby aż do uzyskania jedynek

1, 5 | : 5

1, 1

3 * 4 * 5 = 60

3) Metoda – oddzielnie rozkładamy na czynniki

12 | 2 15 | 3 3 wystąpiło w liczbie I, więc nie uwzględniamy do NWW

6 | 2 5 | 5

3 | 3 1

Wybieramy wszystkie czynniki z I liczby oraz te z drugiej, które nie występowały w I liczbie.

2*2*3*5 = 60

Mnożenie ułamków

Ułamki zwykłe - mnożymy licznik przez licznik a mianownik przez mianownik

Liczby mieszane należy zamienić na ułamki niewłaściwe

Mnożenie liczby mieszanej przez liczbę całkowitą

Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy

1½ * 5 = 3/2 * 5 = 3*5 /2 = 15/2 = 7 ½

lub mnożymy część całkowitą ułamka i część ułamkową liczby mieszanej przez liczbę całkowitą i dodajemy wyniki
1½ * 5 = 1 * 5 + ½ * 5 = 5 + 5/2 = 5 + 2 ½ = 7 ½

Dzielenie ułamków

Pierwszy ułamek pozostawiamy bez zmian, znak dzielenia zamieniamy na znak mnożenia, a drugi ułamek odwracamy

2/3 : 5/8 = 2/3 * 8/5 = 2*8 / 3*5 = 16 / 15 = 1 1/15

Liczby mieszane zamieniamy najpierw na ułamki niewłaściwe.

Ułamki dziesiętne

Ułamek dziesiętny to ułamek, w którym zamiast kreski ułamkowej jest przecinek dziesiętny, oddzielający część całkowitą od części ułamkowej.

Ułamki dziesiętne to zapisane za pomocą przecinka ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 itp.

Przykłady:

1/10 = 0,1 3/10 = 0,3 1/100 = 0,01 1/1000 = 0,001 27/10 = 2,7

W ułamku dziesiętnym jest tyle miejsc po przecinku, ile jest zer w mianowniku ułamka zwykłego.

Budowa ułamka dziesiętnego

61,2345

Całości 61

Części dziesiętne - 2, części setne - 3, części tysięczne – 4, części 10-tysięczne – 5

Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

1) Jeśli to możliwe rozszerzamy ułamek zwykły tak, aby mianownik był równy 10 lub 100, 1000 itp.
½ = 1*5 / 2*5 = 5/10 = 0,5; 3/25 = 12/100 = 0,12; 2/5 = 4/10 = 0,4 7/8 = 875/1000 = 0,875

2) Jeśli rozszerzenie nie jest możliwe (gdy np. mianownik to 3, 7, 11,13 itp.) to kreskę ułamkową zastępujemy znakiem dzielenia.
Wykonujemy dzielenie sposobem pisemnym.

Działania na ułamkach dziesiętnych

http://www.math.edu.pl/dzialania-na-ulamkach-dziesietnych

Dodawanie i odejmowanie sposobem pisemnym – podpisujemy przecinek pod przecinkiem
Na końcu zawsze można dopisać dowolną liczbę zer i skreślić zera w części końcowej.

Odejmowanie można zawsze sprawdzić za pomocą dodawania.

W przypadku odejmowania, jeżeli odjemna ma mniej miejsc po przecinku niż odjemnik, miejsca te uzupełniamy zerami.

Mnożenie ułamków przez 10, 100, 1000 itd. – przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest zer.
Np. mnożenie przez 100 – przesuwamy o 2 miejsca w prawo.

Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000 itp. – przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc ile jest zer w dzielniku.
Np. dzielenie przez 1000 – przesuwamy przecinek o 3 miejsca w lewo.

Mnożenie ułamków sposobem pisemnym.

Podpisujemy ułamki tak, by ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnia cyfra drugiego ułamka.
Po wykonaniu mnożenia dodajemy liczbę miejsc po przecinku i tyle będzie miejsc po przecinku w wyniku.

Zera końcowe można pominąć przy mnożeniu, jeśli są po przecinku.
- Jeśli zera są w części całkowitej, jako ostatnie cyfry, można je pominąć przy mnożeniu a dopisać w wyniku.

Ponieważ mnożenie jest przemienne, podczas mnożenia pisemnego warto liczbę z większą liczbą cyfr umieścić nad liczbą z mniejszą liczbą cyfr.

Dzielenie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym

Najpierw należy przekształcić dzielnik w liczbę naturalną.

W tym celu należy pomnożyć dzielną i dzielnik przez 10, 100, 1000 itp., by dzielnik nie był ułamkiem.

Nie musimy się tu godzić na dzielenie z resztą, bo stawiając w wyniku przecinek, można dopisywać zera do reszty
i kontynuować działania do uzyskania wymaganej dokładności wyniku.

http://www.matemaks.pl/ulamki.php?tid=214

http://www.matematykam.pl/ulamki_dziesietne.html

Potęgowanie, pierwiastkowanie

Potęgowanie polega na mnożeniu przez siebie podstawy potęgi tyle razy,
ile wynosi wykładnik potęgi.

aⁿ = a*a*a … a ( n czynników a), a – podstawa potęgi, n – wykładnik potęgi

a2 = a*a np. 3² = 3*3 = 9

a³ = a*a*a np. 2³ = 2*2*2 = 8

Wzory związane z obliczaniem potęg o wykładnikach całkowitych i ułamkowych:

(-a)²ⁿ = + a²ⁿ - potęga parzysta

(-a)⁴ = (-a)*(-a)*(-a)*(-a) = a⁴- parzysta ilość n

(-a)²ⁿ⁺¹= -a²ⁿ⁺¹ - potęga nieparzysta

(-a)³ = (-a)*(-a)*(-a)* = -a³- nieparzysta ilość n

aⁿ*a^m = a^n+m np. 2³*2⁴ = 2⁶

a³*a² = (a*a*a)*(a*a) = ^a3+2 = a⁵

aⁿ / a^m = a^n-m

a⁴/a³ = (a*a*a )/ (a*a*a ) = a a⁴/a³ = a^4-3= a¹ = a

a^-n = 1/aⁿ =(1/a)ⁿ

a^-2= 1/a² = (1/a)² 1/a-² = a²

(aⁿ)^p = a^np

(a³)² = a³*² = a2*³ = a⁶

a^m^/n = ⁿ√a^m- pierwiastek n -tego stopnia z a do potęgi m

a^2/3 = ³√a²

a^1/n = ⁿ√a

a^1/2 = √a

a^-1/n = 1 /^n√a

a^-1/2 = 1 /√a

Podsumowanie najważniejszych wzorów

Pierwiastki

Pierwiastek składa się z symbolu pierwiastka, stopnia pierwiastka i liczby pierwiastkowanej.

Pierwiastkowanie polega na podaniu liczby, która podniesiona do potęgi o tym samym wykładniku
jak stopień pierwiastka, dałby liczbę pod pierwiastkiem.

Pierwiastek drugiego stopnia - pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a to taka liczba, której kwadrat jest równy a.
Liczbę tę oznaczamy symbolem √a

Kwadrat liczby nie może być liczbą ujemną.
Inaczej jest w przypadku sześcianów liczb.

√a = b to b² = a a >=0

Np. √4 = 2 bo 2² = 4; √121 = 11 bo 11² = 121

Pierwiastek sześcienny z dowolnej liczby a to taka liczba, której trzecia potęga jest równa a.

Liczbę tę oznaczamy ³√a

³√a = b to b³ = a a dowolna liczba rzeczywista

³√8 = 2 to 2³ = 8 ³√-64 = -4 to )-4)³ = 64

³√-a = - ³√a

ⁿ√a^m = b b^m = a

Niektóre pierwiastki są liczbami niewymiernymi – nie można ich przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych.
Np. √2 √3

Działania na pierwiastkach
√a² = a ³√a³ = a √a * √a = a ³√a * ³√a * ³√a = a

Procenty

Procent danej wielkości to jedna setna tej wielkości.
Procenty to zapisane w inny sposób ułamki o mianowniku 100.

Procent = 1/100 całości

1% = 1/100 = 0,01 12% = 12/100 = 0,12 130% = 130/100 = 1,3

P% = 0,01*p = p* 1/100 = p/100

P% wielkości K to p/100 * K

Zamiana procentu p na ułamek – dzielimy procent przez 100

x = p/100

35% = 35/100 = 0,35 = 7/20

12,5% = 12,5:100 = 0,125

Istnieją 3 podstawowe zadania związane z obliczeniami procentowymi:

- obliczenie procentu danej liczby

- obliczenie liczby, gdy dany jest jej procent

- obliczenie jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba

Przykład:

a) Oblicz 12% liczby 80
12% * 80 = 0,12*80 = 9,6

b) Oblicz liczbę, której 30% wynosi 10,5
10,5 / 30% = 10,5 / 0,3 = 105/3 = 35

c) Jaki procent liczby 120 stanowi 40?
40/120 * 100% = 1/3 * 100% = 100/3 % = 33 1/3 % = 33,(3) %

W obliczeniach procentowych często korzystamy z proporcji :
a/b = c/d

Stosujemy „regułę trzech”

a = b*c / d b = a*d / c c = a*d / b d = b*c / d

Obliczanie procentu z danej liczby - obliczanie wartości w procentu p danej liczby a

– pomnożenie liczby a przez procent p zapisany w postaci ułamka

w = p% /100 * a a – dana liczba, p – procent danej liczby a, w – szukana wartość p% z a

b = p% / 100 * a a – dana liczba, p – procent danej liczby a, b – szukana wartość p% z a

Przykłady:
1 Oblicz 30% z liczby 120:
Dane: a = 120, p = 30%. Szukane w

I metoda – zastosowanie wzoru
30%*120 = 30/100 * 120 = 30*120 / 100 = 36
lub 0,30*120 = 36

II metoda – zastosowanie proporcji

Wykorzystanie proporcji

a to 100%

b to p%

b/a = p/100

b = a * p /100 = p/100 * a

b = 120*30/100 = 36

2 Produkcja w wysokości 120 sztuk ma być zwiększona o 10 %. Ile sztuk trzeba zrobić więcej?

w = 10% / 100% * liczba = 10/100 * 20 = 10*120/100 = 12 sztuk

lub w = 0,10 * 120 = 12

Gdy szukamy p % danej liczby a, gdzie p < 100, otrzymujemy liczbę mniejszą od liczby a

Gdy szukamy p % danej liczby a, gdzie p > 100, otrzymujemy liczbę większą od liczby a

Przykład

15% liczby 180 = 0,15*180 = 27 27 < 180
120 % liczby 180 = 1,20*180 = 216 216 > 180

Obliczanie liczby x na podstawie danego jej procentu
(dana wartość liczby w przy procencie p%)

p%/100% * x = w

x = w*100% /p% = w/p *100

x = w/p * 100

Przykłady:
1. Znajdź liczbę, której 30% jest równe 123.
Dane: w = 125, p = 30%. Szukane x

x = 123/30*100 = 410

lub
30%x = 123

0,3 x = 123 /:0,3

X = 123/0,3 = 410

1. Znajdź liczbę, której 5% wynosi 10

5%a = 10

a=10/5% à a = 10/0,05 = 1000/5 = 200

lub 0,05a = 10 /0,05 a = 10/0,05 = 200

2. Wyroby końcowe ważą 300 kg, zaś straty materiału to 20%. Ile materiału zużyto?
z = 300/80 * 100 = 375 kg

3. Ile ważyły gotowe wyroby, gdy przy stracie 20% zużyto 600 kg?
z = 600/120 * 100 = 500kg

Jakim procentem danej liczby a jest druga liczba b – dzielimy liczby i mnożymy prze 100%

Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, zaczynamy od ustalenia, jakim ułamkiem jednej liczby jest druga, a następnie zamieniamy ten ułamek na procent.

x = b/a * 100%

Przykłady:

1) Jakim procentem liczby 48 jest liczba 12?
a = 12, b = 48

12/48 = ¼ ¼* 100% = 25%

2) W wyborach brało udział 200 osób, Kowalski uzyskał 150 głosów.
Ile procent wyborców głosowało na Kowalskiego.

150/200 * 100% = 0,75 * 100% = 75%

3) Towar kosztował 450 zł. Obecnie kosztuje 396 zł. O ile % obniż ono cenę?

I sposób:

396/450 * 100% = 88%

100% - 88% =12%

II sposób

450-396 = 54

54/450 = 54/450 * 100% = 12%

Podatki – VAT (Value Added Tax)

Cena towaru brutto = cena netto + wartość VAT

Wartość VAT = %VAT* netto

VAT = netto * %VAT = 0,01VAT*netto

Brutto = netto + %VAT * netto = netto*(1 + %VAT/100)

Netto = brutto / (1 + %VAT/100)

Przykład 1:

Cena towaru netto = 35 zł, stawka VAT = 7%. Oblicz cenę brutto (z podatkiem VAT).

Dane: cena netto = 35, %VAT = 7%

Szukane: cena brutto i wartość VAT
Cena towaru brutto = cena netto + VAT

VAT = %VAT * netto

netto = 35, %VAT = 7%
VAT = 7% * 35 = 0,07 *35 = 2,45
brutto = netto + VAT = 35 + 2,45 = 37,45

lub: brutto = (1 + VAT%/100)*netto brutto = 1,07*35 = 37,45

Przykład 2:
Cena towaru brutto z 7% podatkiem VAT = 37 zł 45 gr. Oblicz cenę netto ora podatek VAT.
Dane: cena brutto = 37,45 zł i %VAT = 7%

Szukane: x = cena netto, wartość VAT
1,07*x = 37,45

x = 37,45 / 1,07 = 35 – cena netto

VAT = brutto – netto

VAT = 37,45 – 35 = 2,45 zł

Operacje bankowe

Lokata na procent prosty i procent składany

Procent prosty – dochód w postaci odsetek nie jest doliczany do wkładu i nie procentuje wraz z nim w następnym okresie oszczędzania

W przypadku stosowania procentu prostego odsetki nie są doliczane do kapitału na następny okres, czyli w następnym okresie
nadal podlega oprocentowaniu tylko sam początkowy wkład pieniężny

Odsetki i kapitał przy oprocentowaniu prostym

Odsetki za okres	1 roku	m miesięcy	t dni	n lat
Odsetki za okres	*pK / 100**	*pKm* */ (10012)**	*pKt* */ (100365)**	*pKn /100*
Kapitał po okresie	*K(1+p/100)**	*K(1+pm/(10012))*	*K(1 + pt/(100365))**	*K(1 + pn /100)*

K – kapitał złożony w banku, p – oprocentowanie (stopa procentowa)

Przykład: Kowalski wpłacił do banku 2000 zł i założył lokatę na 2 lata na procent prosty.
Roczna stopa oprocentowania była równa 8% i miała być stała przez cały okres lokaty.
Oblicz stan Kowalskiego po upływie 2 lat.

Rozwiązanie:

K = 2000 zł, p = 8%

Stan konta po upływie

1 roku: 2000 zł + odsetki 8 * 2000 / 100 = 2000 + 160 = 2160 zł

2 lat: 2000 zł + odsetki 8*2000*24 / (100*12) = 2000 + 320 = 2320 zł

Obliczenie bezpośrednie według wzoru z tabeli – po 2 latach

K = 2000*(1 + 8* 2 /100) = 2000*(1 + 2 * 8/100) = 2000*(1 + 0,16) = 2000 * 1,16 = 2320 zł

Kapitalizacja odsetek

Procent składany – sposób oprocentowania kapitału, polegający na tym, że odsetki po roku (lub innym okresie oszczędzania),
w którym obowiązuje ustalona stopa procentowa, dopisywane są do kapitału i procentują wraz z nim w następnym okresie oszczędzania

Procent składany i kapitalizacja odsetek

Jeżeli kapitalizacja odsetek (dopisanie odsetek do złożonego kapitału) następuje po upływie każdego roku,
to po n latach kapitał K_nwyniesie:

K_k = K*(1 + p/100)ⁿ

Gdzie: K – kapitał wpłacony do banku na n okresów przy danym oprocentowaniu p% w każdym z okresów (np. roku),
a odsetki będą kapitalizowane po każdym z n okresów;
K_k – kapitał na zakończenie okresu lokaty

Przykład: Kowalski wpłacił do banku 2000 zł i założył lokatę na 2 lata na procent składany.
Oprocentowanie w skali roku wynosi 8%. Ile otrzyma pieniędzy po 6 miesiącach, po roku i po 2 latach?

Rozwiązanie: K 2000 zł, p = 8%, n = 2 lata

- po 6 miesiącach

8%/2 = 4% - oprocentowanie na pół roku

4% * 2000 zł – 0,04 * 2000 = 80

2000 + 80 = 2080 zł lub 1.04*2000 = 2080zł – po 6 miesiącach

- po I roku

8% * 2000 = 0,08 * 2000 = 160

2000 + 160 = 2160 zł - po I roku

- po II roku

8% * 2160 = 0,08 * 2160 = 172,80 zł

2160 + 172,80 = 2332,80 zł - po 2 latach

Obliczenie kapitału na zakończenie lokaty po 2 latach bezpośrednio według wzoru z procentem składanym

K₂ = K*(1 + 8/100)² = 2000 * (1 + 8/100)² = 2000* 1,08² = 2332,80

Jeżeli kapitalizacja następuje t razy w roku, to po n latach kapitał wyniesie

K_k = K * (1 + p/(100*n)^t*n

Punkty procentowe

Punkt procentowy - jednostka różnicy między dwiema wartościami jednej wielkości
podanymi w procentach.
Na przykład wzrost jakiejś wielkości z 20% do 30% jest równy 10 punktom procentowym.

Zadania:

1 Bank obniżył oprocentowanie kredytu z 15% na 13,5%.

O ile punktów procentowych bank obniżył oprocentowanie kredytu?

pp = 15% - 13,5% = 1,5 punktu procentowego

Bank obniżył oprocentowanie o 1,5 punktu procentowego

O ile procent mniej zapłaci kredytobiorca?

p /100 = 1,5 / 15 - proporcja

p = 1,5*100/15= 150/15 = 10%

Odsetki od kredytu zmniejszyły się o 10%.

Oznacza to zmniejszenie się wysokości odsetek o 10% od poprzedniej wielkości ( nie w ogóle).

2 Bezrobocie wzrosło z11% do 13%.

O ile punktów procentowych wzrosło bezrobocie?

O ile procent wzrosło bezrobocie?

pp = 13% - 11% = 2%

p/100 = 2/11

p = 100*2/11 = 200/11 = 18,18%

Bezrobocie wzrosło o ok. 18,18% w stosunku do poprzedniego poziomu.

Promile

Promil – 1/1000 część pewnej wielkości lub liczby

Jest to ułamek o mianowniku 1000 lub ułamkiem dziesiętnym z trzema miejscami po przecinku

1%o = 1/1000 = 0,1%

1% = 10%o

15%0 = 15/1000 = 0,015

Promilami posługujemy się wówczas, gdy omawiamy bardzo małe części jakiejś większej całości,
na przykład zawartość alkoholu we krwi, próby złota, srebra.

Zmiana promili na liczbę:

125%o = 125/1000 = 1/8 = 0,125

Zmiana liczby na promile

1/8 * 1000%_o = 1000/8 = 125%_o

Obliczanie promila danej liczby

Zadanie: obliczyć 15‰ liczby 600.

15/1000 * 600 = 9

Zamiana promili na procenty (pomniejszamy promile 10 razy)

50%o = 50/10 % = 5%

Zamiana procentów na promile (powiększamy procent 10 razy)

20% = 20*10 %o = 200%o

Proporcjonalność

Proporcjonalność prosta

y = a*x - równanie prostej

Proporcjonalność odwrotna

a*b = c*d = k

y = a/x – równanie hiperboli

Proporcja

a*d = b*c a = b*c /d b = a*d /c c = a*d /b d = b*c /a

Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych proporcji

Liczby wymierne

Liczby naturalne N: 0, 1, 2, 3 …

Liczby całkowite C– liczby naturalne i liczby do nich przeciwne – liczby dodatnie i ujemne

Liczby wymierne W– które można zapisać w postaci ułamka zwykłego: n/m , gdzie n, m – liczby całkowite

Wartość bezwzględna - odległość liczby od zera na osi liczbowej – zawsze dodatnia

|x| = x, gdy x >= 0 ; |x| = -x, gdy x < 0

|x| >=0, |-x| = |x|, √x²= |x|

|5| = 5, |-5| = 5

|0| = 0

|x – a| = b à x = a + b i x = a - b

Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych

9 + 16 = 25

-9 + (-16) = -(9+16) = -25 lub -9 – 16 = -25

-57 + 13 = -(57-13) = -44

62 + (-9) = + (62 -9) = 53 lub 62 -9 = 53

78 – (-50) = 78+50 = 128

Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych: (+)*(+) = (+); (-)*(+)=(+) (-)*(-)=(+)

(-7)*(-5) = 35

Pierwiastek n - tego stopnia

Pierwiastek arytmetyczny stopnia n liczby nieujemnej a, to liczba nieujemna b, spełniająca bⁿ = a.
Zapisujemy symbolicznie ⁿ√a i czytamy pierwiastek n -tego stopnia z liczby a.

= b, wtedy i tylko wtedy, gdy bⁿ =a

a - liczba podpierwiastkowa, b - pierwiastek n -tego stopnia z a (wynik pierwiastkowania). n - stopień pierwiastka,

Pierwiastek stopnia drugiego (n = 2) nazywany jest pierwiastkiem kwadratowym.
Zapisujemy √a. Np. √16 = 4 bo 4² = 16
Ponadto pierwiastkowanie stopnia parzystego nie jest wykonalne dla liczb ujemnych – tylko dla liczb większych lub równych zero.

Pierwiastek stopnia trzeciego (n = 3) nazywany jest pierwiastkiem sześciennym.
Zapisujemy ³√a. Np. ³√27 = 3 bo 3³ = 27
Pierwiastkowanie stopnia nieparzystego jest wykonalne dla wszystkich liczb rzeczywistych (dodatnich, ujemnych i zero).

Nie każdy pierwiastek jest liczbą wymierną.
Pierwiastek, który nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb wymiernych, jest liczbą niewymierną.
Np. √2

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne – liczby i litery połączone znakami działań matematycznych i nawiasami

Jednomian – liczba, litera, iloczyn liczb i liter, np. –x, 1/2x 13abc,

Suma algebraiczna –składa się z jednomianów, np. 2x+5

Redukcja wyrazów podobnych – dodanie lub odjęcie wyrazów różniących się tylko współczynnikiem, np. 2x – 3x + 5 – 2 = -x +3

Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę, np. 2*(3x-5) = 6x -10

Równość – 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, np. 2x +5 = 10

Nierówność – 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem nierówności : >, <, >=, <=

Równania i nierówności

Równanie to wyrażenie algebraiczne połączone z liczbą lub z drugim wyrażeniem algebraicznym znakiem równości (=).

Niewiadoma równania (oznaczona literą) – liczba której szukamy.

Może być układ równań z wieloma niewiadomymi.

Litery występujące w równaniach nazywamy niewiadomymi układu.

Stopień równania jest równy najwyższemu wykładnikowi przy niewiadomej.

Rozwiązaniem równania nazywamy liczbę, której podstawienie zamiast niewiadomej daje równw wartości po obu stronach równania, czyli L = P.

Liczba jest rozwiązaniem równania (spełnia to równanie) jeżeli obie strony tego równania mają dla niej tę samą wartość liczbową.

Równania, które mają takie same rozwiązania nazywamy równaniami równoważnymi.

Jeżeli przeniesiemy z jednej strony równania na drugą dowolny wyraz ze znakiem przeciwnym to równanie nie zmieni się (jest równoważne danemu).

Równanie oznaczone ma jedno rozwiązanie.

Równanie nieoznaczone ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Równanie sprzeczne nie ma rozwiązań.

Sposoby rozwiązywania równań – metody podstawowe (szkoła podstawowa)

Suma niewiadomej i liczby

x + 1 = 4 x +1 – 1 = 4 -1 x = 4 od sumy 4 odejmujemy liczbę (tu 1)

Różnica niewiadomej i liczby:

y – 3 = 8 y – 3 + 3 = 8 + 3 y = 11 do różnicy dodajemy odjemnik (tu 3)

Różnica liczby i niewiadomej

9 – b = 5 b = 9 -5 b = 4 Od odjemnej odejmujemy różnicę

Iloczyn niewiadomej i liczby

2c = 10 c = 10/2 c = 5 Dzielimy wynik przez liczbę przy niewiadomej

Iloraz niewiadomej i liczby

x/4 = 12 x = 12*4 x = 48 Mnożymy wynik przez dzielnik

Iloraz liczby i niewiadomej

6/z = 3 z = 6:3 z = 2 Dzielimy dzielną przez iloraz

Rozwiązywanie równań – zasady

Każdą nową postać równania zapisujemy w nowym wierszu, aby znak równości znajdował się jeden pod drugim.

Po zakończeniu warto sprawdzić, czy dobrze rozwiązane równanie.

Podstawiamy otrzymaną wartość niewiadomej do równania.
Obliczamy osobno wartość lewej strony L i prawej strony P.
L ma się równać P.

Przenoszenie wyrażeń na drugą stronę równania

Łatwą metodą rozwiązywania równań jest przenoszenie na drugą stronę równania ze zmianą znaku.

Przykłady:

Przykład 1

2x – 5 = 3

2x = 3 + 5

2x = 8 /: 2

x = 8:2

x = 4

L = 2*4 -5 = 8-5 =3

P = 3

L = P

Przykład 2

2y + 3 = 3y -4

2y – 3y = -4 – 3

-y = -7 /: (-1)

Y = -7/ (-1)

Y = 7

L = 2*7 + 3 = 17

P = 3*7 – 4 = 17

L = P

http://www.matematykam.pl/rownania.html

Rozwiązywanie równań (gimnazjum)

Istnieją trzy rodzaje równań: oznaczone, tożsame i sprzeczne.

Równanie oznaczone
To jest w rzeczywistości „zwykłe” równanie, w którym dochodzimy do wyniku x=…,

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest obliczony x.

Rozwiązywanie równania

Aby rozwiązać równanie, wystarczy trzymać się paru podstawowych zasad.
W celu ułatwienia rozwiązania, kolejność wykonywania poszczególnych działań można podzielić na 3 podstawowe kroki.

Kolejne kroki i zasady, którymi należy się kierować, przedstawiono na przykładzie:

2x + 3(3x-5) -10 = 5x+5

Krok I:
Wykonujemy wszystkie możliwe do wykonania działania, po obu stronach równania.

Zasady: Wyrażenia z „x” są wyrażeniami algebraicznymi i wszelkie działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie . . .)
wykonujemy zgodnie z zasadami działań na wyrażeniach algebraicznych.

2x + 9x – 15 -10 = 5x + 5

11x -25 = 5x + 5

Krok II:
Przystępujemy do niego, gdy nie ma już żadnych możliwych do wykonania działań po obu stronach równania.
Przenosimy wszystkie wyrażenia z „x” na lewo, a liczby na prawo.
Po przeniesieniu wykonujemy ostatnie działania po obu stronach równania.

Zasady: Wyrażenia, które przenosimy z jednej strony na drugą zmieniają swój znak.

11x -5x = 5 + 25

6x = 30

Krok III:
Dzielimy obie strony równania, przez liczbę stojącą przy „x”.

Zasady: Zapisujemy to działanie po prawej stronie równania: /:6.
Dzielimy obie strony równania przez liczbę 6.

6x = 30 /: 6

x = 5

Równanie tożsame (tożsamościowe)
Równanie tożsame ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozpoznajemy je w trakcie liczenia.

W pewnym momencie wszystkie wyrażenia po obu stronach równania skracają się do 0
i powstaje równość: 0 = 0.

Wtedy piszemy: „Równanie jest tożsame”
oraz zapisujemy: x R (czyt. x należy do zbioru liczb rzeczywistych),
można też zapisać zdanie równoważne z zapisem x R : „

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań”.
Przykład:

2(x-1) = 2x +2

2x -2 + 4 = 2x +2

2x +2 = 2x +2

2x -2x = 2 -2

0 = 0

Równanie jest tożsame x R

Równanie sprzeczne
Równanie sprzeczne nie ma rozwiązań.

W trakcie liczenia, dochodzimy do momentu w którym powstaje sprzeczność ( np. 0 = 9),

wtedy znak równości przekreślamy: ( 0 9 ).

Następnie należy zapisać: „Równanie jest sprzeczne” oraz x
(czyt. x należy do zbioru pustego),
można też zapisać słownie: „Brak rozwiązań”.

Przykład:

5x – 9 = 2x +3(x-2)

5x -9 = 2x +3x -6

5x -5x = 9 -6

0 3

Nierówności

Rozwiązywanie nierówności nie różni się znacząco od rozwiązywania równań.

W nierównościach zamiast znaku „=” mamy znak nierówności.

W porównywaniu do równań mamy tu do czynienia z dwoma podstawowymi różnicami:
1) W trakcie obliczeń, gdy zachodzi konieczność pomnożenia lub podzielenia całego równania przez liczbę ujemną,
należy zmienić znak nierówności na przeciwny - obrócić znak nierówności w drugą stronę.
2) Po uzyskaniu rozwiązania, należy zaznaczyć je na osi oraz za pomocą przedziału liczbowego.

Przykład

2(x+1) – 3 4x +3

2x +2 -3 4x +3

2x -4x 3 + 1

-2x 4 / : (-2)

x -2

Teraz należy zaznaczyć wynik na osi liczbowej

Układy równań

Układ równań – połączenie pewnej ilości równań.

Układy równań służą do zapisywania i rozwiązywania zadań i problemów, w których występuje więcej niż jedna niewiadoma.

Jeżeli układ tworzą 2 równania z 2 niewiadomymi, to parę liczb, która spełnia oba równania równocześnie, nazywamy rozwiązaniem układu równań

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych,
funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych.
Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie.
Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:

· przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),

· przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji),

· wzory Cramera,

· metoda eliminacji Gaussa.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:

Nazwa układu równań	Rozwiązanie algebraiczne	Warunek i przykład	Interpretacja graficzna
Oznaczony	Rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y)	,	Dwie proste przecinające się
Nieoznaczony	Nieskończenie wiele rozwiązań		Dwie proste pokrywające się
Sprzeczny	Brak rozwiązań	lub	Dwie różne proste równoległe

Układ 2 równań liniowych z 2 niewiadomymi

Jeżeli dwa równania liniowe zapiszemy jedno pod drugim i połączymy klamrą otrzymamy układ równań
I stopnia z dwiema niewiadomymi:

Rozwiązać układ równań z dwiema niewiadomymi to znaczy znaleźć taką parę liczb, która spełnia jednocześnie oba równania.

Metody rozwiązywania układów równań:

- metoda podstawiania (eliminacji)

- metoda przeciwnych współczynników.

- metoda wyznacznikowa – wzory Cramera

- metoda graficzna – przecięcie prostych na wykresie

Metoda podstawiania

Z jednego równania wyznaczamy jedną z niewiadomych

Otrzymane wyrażenie podstawiamy do pozostałych równań (drugiego równania), eliminując z nich niewiadomą

Równania te możemy traktować jako nowy, prostszy układ równań do rozwiązania – w przypadku 2 równań – jedno równanie z jedną niewiadomą.

Przykład 1

I x + 4y = 0

II 2x +3y = 25

I x = -4y

II 2(-4y) + 3y = 25

I x = -4y

II -5y = 25

I x = -4y

II y = -5

Rozwiązanie: x = -4*(-5) = 20; y = -5

Sprawdzenie:

I L = 20+4*(-5) = 0 P = 0 L =P

II L = 2*20 + 3*(-5) = 40-15 = 25 P = 25 L = P

Przykład 2

4x + y = 40

x – y = 5

x = 5+y

4(5+y) + y = 40

20 + 4y + y = 40

5y = 20

y = 4

x -4 =5

x = 9

Metoda przeciwnych współczynników – operacji elementarnych

Rozwiązania układu nie zmienią się, jeżeli:

- pomnożymy jedno z równań przez liczbę różną od zera

- do jednego z równań dodamy stronami inne równanie układu

- od jednego z równań odejmiemy stronami inne równanie układu

Przykłady:

4x -5y = 39

5x + 5y = 78 / +

------------------

9x + 0 = 117

x = 117/9

x = 13

4*13 -5y = 39

5y = 52-39

y = 13/5

4x -7y = 41 / *3

5x + 3y = 63 / *7

--------------

12x -21 y = 123

35x + 21y = 441 / +

-------------------

47x = 564

X = 12

4*12 -7y = 41

-7y = -7

y = 1

Rozwiązywanie przez porównanie

Przykład:

7x –y = 90

2x –y = 24

-------------

y = 7x -90

y = 2x -24

-------------

7x -99 = 2x -24

5x = 75

x =15

y = 7*15 -99

y = 105 -99

y = 6

Rozwiązywanie metodą wyznacznikową – wzory Cramera

Dany układ równań:

a1*x + b1*y = c1

a2*x + b3*y = c2

x = Wx / W; y = Wy/W,

W = | a1 b1 |

| a2 b2 |

Wx = | c1 b1 |

| c2 b2 |

Wy = | a1 c1 |

| a2 c2|

Przykład

8x -3y =16

5x +6y =13

W = | 8 -3 |

| 5 6 | = 8*6 + 5*3 = 63

Wx = | 46 -3 |

| 13 6 | = 46*6 +13*3 = 315

Wy = |8 46 |

| 5 13 | = 8*13 -5*46 = -126

x = 315/63 = 5

y = -126 /63 = -2

Dla każdego układu równań I stopnia z 2 niewiadomymi zachodzi jeden z 3 przypadków:

1. Układ ma jedno rozwiązanie – układ oznaczony

2. Układ nie ma rozwiązań – układ sprzeczny

3. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań – układ nieoznaczony

3x -4y = x + 1

-0,5x + y =3

3x -4y = x +1

Y = 3 + 0,5x

3x -4 (3+0,5x) = x+1

3x -12 -2x = x+1

3x -2x –x = 12 +1

0*x = 13 - równanie sprzeczne – żadna liczba x nie spełnia równania

X – 0,3 y =0,2

5x -1 = 1,5y

X = 0,3y +0,2

5x -1 = 1,5

5*(0,3y +0,2) -1 = 1,5y

1,5 y -1,5y = 0

0*y = 0 Równanie tożsamościowe – spełnia dowolna liczba x

Układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o osiach prostopadłych.

Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637.

Układ współrzędnych kartezjańskich ( na płaszczyźnie ) to dwie prostopadłe do siebie osie liczbowe: oś odciętych x oraz oś rzędnych y.

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery nieskończone obszary nazywane ćwiartkami,
z których każdy ograniczony jest dwoma półosiami. Numeruje się je często cyframi rzymskimi I, II, III, IV.

Funkcje

Funkcja – przyporządkowanie każdemu elementowi z jednego zbioru dokładnie jednego elementu z drugiego zbioru. zbioru.

Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie elementom zbioru X elementów zbioru Y,
(f : X → Y), w którym każdemu elementowi x ∈ X odpowiada dokładnie jeden element y ∈ Y.

Funkcja f odwzorowująca zbiór X w zbiór Y (f : X → Y) – przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi x ze zbioru X odpowiada dokładnie
jeden element ze zbioru Y.

f: X → Y oznacza, że f jest funkcją odwzorowującą zbiór X w zbiór Y.

Zapis y = f(x) czytamy: zmienna y jest funkcją zmiennej x

x – zmienna niezależna, y – zmienna zależna

x - argument funkcji, y = f(x) - wartość funkcji dla argumentu x lub obraz elementu x.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, a jego argumenty argumentami.

Wartością funkcji f w punkcie x jest y: y = f(x), jeżeli y jest elementem zbioru Y przyporządkowanym przez funkcję f argumentowi x.

Jeśli każdy element zbioru Y jest wartością funkcji f w pewnym punkcie zbioru X, to mówimy, ze f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y.

Zbiór złożony z tych elementów zbioru Y, dla których istnieje element x ze zbioru X, taki, że y = f(x), nazywamy
zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy Y_f lub Zw

Jeżeli funkcja f elementowi x ∈ X przyporządkowuje element y ∈ Y to
liczbę x nazywamy argumentem funkcji f
liczbę y wartością funkcji f.
Wszystkie argumenty funkcji tworzą dziedzinę, a wszystkie wartości funkcji tworzą zbiór wartości funkcji.

Dziedziną funkcji D_f nazywamy zbiór tych wszystkich elementów x, dla których funkcja jest określona

f: X → Y – X jest dziedzina funkcji f, Y – zbiór wartości funkcji

Zbiór Y nazywamy też przeciwdziedziną funkcji.

Funkcje oznaczamy zwykle małymi literami: f, g, h.

Wykres funkcji f: X f : X → R, gdzie X ⊂ R nazywamy zbiór punktów: { (x, f(x)): x ∈ X}

Miejsce zerowe funkcji – każdy argument, dla którego funkcja ma wartość równą zero.
x_ojest miejscem zerowym funkcji f, gdy f(x_o) – 0

Miejsce zerowe jest równe odciętej punktu, w którym wykres funkcji przecina oś odciętych x.

Funkcja f jest różnowartościowa, jeżeli dla dowolnych argumentów x1, x2 zachodzi implikacja: (x1 ≠ x2 ) => f(x1) ≠ f(x2) )

Funkcja jest rosnąca w przedziale <a, b>, gdy w przedziale tym wraz ze wzrostem argumentów funkcji rosną jej wartości.

Jeżeli x₁< x₂, to f(x₁) < f(x₂)

Funkcja jest malejąca w przedziale <a, b>, gdy w przedziale tym wraz ze wzrostem argumentów funkcji maleją jej wartości.

Jeżeli x₁< x₂, to f(x₁) > f(x₂)

Funkcja jest stała w przedziale <a, b>, gdy w przedziale tym wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości się nie zmieniają – są stałe.

Jeżeli x₁< x₂, to f(x₁) = f(x₂)

Funkcję można określić za pomocą:

· przepisu słownego

· tabeli

· grafu

· wzoru, np. y = 2x, f(x) = 2x, f: x →2x

· wykresu

· zbioru par uporządkowanych, np. {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}

Przykład: y = 2x

Przepis słowny: Każdej z liczb -1, 0, 1, 2 przyporządkuj liczbę y, która jest jej dwukrotnością

Wzór funkcji: y = 2x

Tabela

x	-1	0	1	2
y=2x	-2	0	2	4

Zbiór par uporządkowanych: {(-1, -2), (0, 0), (1,2), (2,4) }

Wykres funkcji

Dziedzina funkcji: Df = R Zbiór wartości funkcji: Y_f = R

Przykłady dziedzin funkcji:

F(x) = 1 / (x-1) Df = { x ∈ R: x -1 ≠ 0} = { x ∈ R: x ≠ 1 }= R – {1}

F(x) = √(x+1) Df = { x ∈: x+2 >= 0} = { x ∈ R: x >= -2 }= < -2; + nieskończoność)

Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcja f jest parzysta, jeżeli dla dowolnego x należącego do dziedziny, element –x też należy do dziedziny oraz zachodzi równość:

F(-x) = f(x)

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy

Funkcja f jest nieparzysta, jeżeli dla dowolnego x należącego do dziedziny, element –x też należy do dziedziny oraz zachodzi równość:

F(-x) = - f(x)

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych O.

Funkcje okresowe

Mówimy, że funkcja y = f(x) jest funkcją okresową o okresie T, jeśli istnieje taka liczba T ≠ 0,
która dodana do dowolnej dopuszczalnej wartości argumentu nie zmienia wartości funkcji,
tzn. f(x + T) = f(x) dla dowolnego x ∈ D_f
Najmniejszą liczbę dodatnią o tej własności (jeżeli istnieje) nazywamy okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji.

Wykres funkcji okresowej po przesunięciu o wektor [T, 0] pokrywa się sam z sobą.

Przekształcenia wykresów funkcji

Translacje:

y = f(x – p) – przesunięcie wykresu o wektor u = [p, 0]

Gdy p > 0 to w prawo, gdy p < 0 to w lewo o wartość |p|

Gdy p > 0 i y = f(x), to aby otrzymać wykres funkcji określonej wzorem:
y = f (x - p), przesuwamy równolegle do osi x wykres funkcji f(x) o p jednostek w prawo, czyli o wektor u = [p, 0]

Y = f (x +p), przesuwamy równolegle do osi x wykres funkcji f(x) o p jednostek w lewo czyli o wektor u = [-p, 0]

Przykład: g(x) = f(x-5)

y = f(x) + q - przesunięcie wykresu o wektor v = [0, q]

Wykres f(x) przesuwamy równolegle wzdłuż osi x o |q| jednostek

· W górę, gdy q > 0

· W dół, gdy q < 0

y = f(x –p) + q – przesunięcie wykresu o wektor w = [p, q]

- wzdłuż osi x o wektor u = [p, 0] oraz równolegle do osi y o wektor v = [0, q]

Przykład: f(x) = x² g(x) = f(x-5)² + 3

Symetrie

y = f(-x) – przekształcenie wykresu przez symetrię względem osi Oy

- symetria względem osi y

Y = f(-x)

f(x) = 2x+3 g(x) = f(-x) = 2*(-x) +3

y = -f(x) - przekształcenie wykresu przez symetrię względem osi Ox

- symetria względem osi x

F(x) =x, g(x) = -f(x) = -x

F(x) =2x+1, g(x) = -f(x) = -(2x+1)

y = - f(-x) - przekształcenie wykresu przez symetrię względem początku układu współrzędnych O(0, 0)

Wykresy funkcji y = f(x) i y = f(-x) są wzajemnie symetryczne względem osi x. Ich dziedziny są identyczne.

Wykresy funkcji y = f(x) i y = f(-x) są wzajemnie symetryczne względem osi y.

Wartości tych funkcji dla argumentów przeciwnych są takie same.

Wykres funkcji g(x) = -f(-x), gdzie f(x) = x²-x+1

y = f(|x|) – złączenie figur: części wykresu leżącej po prawej stronie osi Oy i na tej osi
oraz odbicia symetrycznego wykresu z prawej strony osi Oy względem osi Oy. (część po lewej stronie Oy nie jest brana pod uwagę).

y = |f(x)| - złączenie figur: części wykresu nad osią Ox wraz z punktami na osi Ox oraz odbicia symetrycznego części
wykresu leżącego pod osią Ox, względem osi Ox.
g(x) = |f(x)| = f(x), gdy f(x) >= 0 (funkcja f ma wartości dodatnie)

g(x) = |f(x| = –f(x), gdy f(x) < 0 (funkcja f ma wartości ujemne)

Wykres funkcji g(x) = |f(x)|, gdzie f(x) = x² –x -5

y = k*f(x) , gdzie k <> 0 – zmiana położenia wg zasad:
gdy |k| > 1, to punkty wykresu oddalają się |k| -krotnie od osi Ox (rozciąganie wzdłuż osi Oy);
jeśli |k| < 1 to punkty wykresu przybliżają się 1/|k| - krotnie do osi Ox (wykres ścieśnia się).
jeśli k > 0 to punkty wykresu pozostają po tej samej stronie osi Ox, jeśli k < 0, to punkty przechodzą na drugą stronę osi Ox

Jeżeli y = f(x) i g(x) = k*f(x), gdzie k <> 0, to do wykresu funkcji f należą punkty (x, f(x), a do wykresu funkcji g punkty (x, k*f(x))
g(x) = (x, k*f(x))

Przekształcenie, w którym obrazem wykresu funkcji f jest wykres y = k*f(x), gdzie k <> 0,
nazywamy powinowactwem prostokątnym o osi x i skali k.

Wykres funkcji g(x) = k*f(x) =3*f(x), gdzie f(x) = x²–x -2, k =3

y = g(x) = f(k*x), gdzie k <> 0 – do wykresu funkcji f należą punkty (x, f(x)), a do wykresu funkcji g punkty
g(x) = (1/k*x, f(x))

Jeśli |k| > 1 to punkty wykresu g(x) przybliżają się |k| - krotnie do osi Oy (wykres ścieśnia się wzdłuż osi Ox);
jeśli |k| < 1 to oddalają się 1/|k| - krotnie od osi Oy (wykres rozciąga się wzdłuż osi Ox).
Jeśli k > 0 to pozostają po tej samej stronie osi Oy, a jeśli a < 0 to położone są po przeciwnej stronie osi Oy.

Przekształcenie y = f(k*x), gdzie k <> 0, nazywamy powinowactwem prostokątnym o osi y i skali k.

Wykres funkcji g(x) = f(k*x), gdzie k = 2, f(x) = x²–x -2

Wzory różnych znanych funkcji

https://www.megamatma.pl/uczniowie/Wzory/funkcje-wzory/wykresy-funkcji

Funkcja liniowa: f(x) = ax +b , a, b ∈ R – wykres jest prostą

Proporcjonalność prosta y = ax , a ∈ R , , a ≠ 0

Funkcja kwadratowa: f(x) = ax²+ bx + c; a ≠ 0 - trójmian kwadratowy;
funkcja wielomianowa drugiego stopnia, np. y = x² +5x -6

Funkcja homograficzna y = (ax + b) / (cx + d); a, b, c, d ∈ R , c ≠ 0, cx + d ≠ 0

Hiperbola, proporcjonalność odwrotna: y = a/x, gdzie x ≠ 0 i a ≠ 0

Wielomiany trzeciego stopnia: y = ax³ + bx² + cx + d ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0
Wielomiany n – tego stopnia : W(x) = a_n*xⁿ… + a₁*x + a₀

Funkcje wymierne: f(x) = W(x) / V(x), np. f(x) = (ax+b) / (cx+d)

Funkcje potęgowe: f(x) = x^r r ∈ R

Funkcje wykładnicze: f(x) = a^x , a > 0, a ≠ 1,

Funkcje logarytmiczne: f(x) = log _a x a > 0, a ≠ 1,

Funkcje trygonometryczne: sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x)

Inne, np. cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
arcsin(x), arccosx(x), arctg(x< arcctg(x), arcsec(x), arccsc(x)

y = arcsin(x) ⇔ x = sin(y); y = arccos(x) ⇔ x = cos(y); Dziedziną tych funkcji jest przedział <-1, 1)
y = arctg(x) ⇔ x = tg(y); y = arcctg(x) ⇔ x = ctg(y). Dziedziną tych funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R

Jednostki długości i powierzchni - podstawowe

Jednostki długości:

1 mm – milimetr

1 cm – centymetr = 10 mm

1 dm – decymetr = 10 cm = 100 mm

1 m – metr = 10 dm = 100 cm = 1000 mm

1 km – kilometr = 1000 m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm

Jednostki pola powierzchni

1 mm² = 1 mm * 1 mm – kwadrat o boku 1 mm

1 cm²=1 cm * 1 cm = 10 mm * 10 mm = 100 mm²– kwadrat o boku 1 cm

1 dm² = 100 cm² = 10 000 mm² - kwadrat o boku 1 dm

1 m² = 1 m * 1 m = 10 dm * 10 dm = 100 dm² = 100 cm * 100 cm = 10000 cm²= 1 000000 mm²

1 km² = 1 000000 m² = 10 000 a = 100 ha – kwadrat o boku 1 km
1 a = 100 m² – kwadrat o boku 10 m [ar]
1 ha = 100 a = 10 000 m² - kwadrat o boku 100 m [hektar]

Geometria

Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi)

jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur

geometrycznych i zależności między nimi.

Aksjomaty w geometrii:

• Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych

• Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta

• Przez punkt nie leżący na prostej l przechodzi dokładnie jedna prosta k równoległą do prostej l.

Pojęcia pierwotne w geometrii, to: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń.

FIGURY GEOMETRYCZNE

Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył geometrycznych.

Badaniem właściwości figur płaskich zajmuje się dział geometrii zwany planimetrią (geometrią płaszczyzny).

Planimetria

Figury płaskie

LINIA:

Punkt poruszający się w przestrzeni kreśli linię,

POWIERZCHNIA:

Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię, np. koło pojazdu.

BRYŁA:

Przez ruch powierzchni możemy otrzymać ciało geometryczne, czyli bryłę.

Podstawowe figury geometryczne

Punkt, prosta, półprosta, odcinek.

Dodawanie i odejmowanie odcinków.

Punkt jest podstawową figurą geometryczną

Oznaczamy go kropką i podpisujemy wielkimi literami Np. . P . A

Prosta – linia o nieskończonym promieniu krzywizny, składająca się z nieskończenie wielu punktów.

Prosta - szczególny przypadek krzywej nieograniczonej z obydwu stron, o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie

Jest to zbiór punktów opisanych następującym równaniem ogólnym Ax + By + C = 0, gdzie A i B nie mogą być równocześnie równe zeru.

Proste oznaczamy małymi literami alfabet, np. k, l, m.

Np. _____________ k

Zaznaczając na prostej k punkt A, mówimy, że punkt A należy do prostej k, zapisujemy A k

Zapis odczytujemy: punkt nie należy do prostej

Przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

Przez dwa różne punkty można poprowadzić tylko jedną prostą.

Prostą przechodząca przez punkty oznaczamy prosta

A_________________________________B

Proste równoległe, prostopadle, przecinające się pod dowolnym kątem

Dwie proste na płaszczyźnie nazywamy równoległymi, jeśli pokrywają się lub nie mają punktów wspólnych.

Dwie proste są prostopadłe jeśli miary wszystkich kątów wierzchołkowych utworzonych przez te proste są równe.
Jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to kąt stworzony przez ich przecięcie jest kątem prostym, który ma miarę 90° lub π/2 radianów.

Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie – 2 prostopadłe osie liczbowe o wspólnym początku.
Dowolne proste przecinające się pod kątem prostym są prostopadłe.

Płaszczyzna – płaska powierzchnia

Płaszczyzna, jedno z pojęć pierwotnych geometrii.
W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
Płaszczyznę można obrazować jako kartę papieru, powierzchnię stołu, czy płaskie pole, wyobrażając sobie je rozciągające się "w nieskończoność".
Płaszczyznę można zdefiniować jako miejsce geometryczne punktów przestrzeni równoodległych od wybranych dwóch punktów.
Płaszczyznę wyznaczają trzy, nie-współliniowe punkty albo prosta i punkt nie należący do prostej.

Każda prosta na płaszczyźnie dzieli ją na 2 części - półpłaszczyzny

Figury definiowalne z jednostek podstawowych:
półprosta, odcinek, łamana, kąt płaski, wielokąt

Półprosta to część prostej ograniczona z jednej strony punktem, który jest jej początkiem.
Punkt na prostej dzieli ją na dwie półproste.

Odcinek to część prostej ograniczona z dwóch stron punktami, wraz z tymi punktami. Punkty te nazywamy końcami odcinka.

Odcinek o końcach oznaczamy lub

Łamana – składa się z odcinków połączonych ze sobą tak, że koniec jednego jest początkiem drugiego.

Łamane zwyczajne zamknięte, otwarte,

Łamana przecinająca się zamknięta, przecinająca się otwarta

Wielokąt – łamana zwyczajna zamknięta, wraz z wnętrzem.

Wielokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty tej samej miary, nazywamy wielokątem foremnym.

Figury geometryczne

Figury podstawowe, pola i obwody

Trójkąt – wielokąt o trzech bokach.
Trójkąt to najmniejsza figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny.

Trójkąty: dowolny (różnoboczny), równoramienny, równoboczny, prostokątny.
Suma długości 2 boków trójkąta jest większa od trzeciego boku.
Każdy trójkąt jest wielokątem wypukłym. Ma 3 kąty, których suma = 180 stopni.

Obwód trójkąta: Ob. = a + b + c

Pole trójkąta P = ½ *a*h

Czworokąty: dowolny, prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb, trapez, trapez równoramienny, trapez prostokątny, deltoid.

Wielokąty foremne: pięciokąt, sześciokąt, ośmiokąt …

Prostokąt – czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

Prostokąt ma długość, szerokość . W prostokącie można narysować 2 przekątne.

Obwód prostokąta: Ob. = 2a + 2b = 2*(a + b)

Pole prostokąta: P = a * b

Kwadrat – prostokąt, który ma wszystkie boki równe. Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym.
Ob. = 4a P = a * a = a²

Równoległobok – czworokąt, który ma 2 pary boków równoległych.

Ob. = 2a + 2b = 2 (a + b) P = a * h

Romb – równoległobok o bokach równej długości. Przekątne przecinają się pod katem prostym i dzielą się na połowy.

Ob. = 4a P = a*h = ½ d1 * d2 gdzie d1, d2 – przekątne rombu

Trapez – czworokąt, który ma parę boków równoległych

Ob. = a + b + c + d P = ½ * (a + b) * h

Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równo oddalonych od pewnego ustalonego punktu, zwanego środkiem okręgu.

Promień okręgu – odcinek łączący dowolny punkt okręgu z jego środkiem. Oznaczamy go r lub R.

Cięciwa okręgu – odcinek łączący 2 różne punkty okręgu.

Średnica okręgu – cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Jest to najdłuższa cięciwa. Oznaczamy przez d.
Długość średnicy jest równa podwojonemu promieniowi: d = 2r

Koło – okrąg wraz z jego wnętrzem.

Ob. = 2πr = π*d – obwód P = πr² - pole

Kąty

Kąt płaski, część płaszczyzny ograniczona dwoma półprostymi (ramionami kąta) wychodzącymi z jednego punktu (wierzchołka kąta)

Kąt płaski – część płaszczyzny wyznaczone przez 2 półproste.

Rodzaje kąta:

zerowy - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się , a tym samym im równy. Miara kąta zerowego jest równa 0 [rad] =0°.

ostry - α < 90° - kąt o mierze większej od 0 [rad] =0°, lecz mniejszej od π/2 [rad] =90°.

prosty - α = 90° - kąt przystający do swojego kąta przyległego. Miara kąta prostego wynosi π/2 [rad] =90°.

rozwarty - 90° < α < 180°- kąt o mierze większej od π/2 [rad] =90°, lecz mniejszej od π [rad]=180°.

półpełny - α = 180° - każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej. Miara kąta półpełnego wynosi π [rad]=180°.

pełny - α =360° - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie. Miara kąta pełnego wynosi 2π [rad]=360°.

wypukły - α <= 180°- kąt, który jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π [rad]=180° albo równa 2π [rad]=360°.

wklęsły - 180° < α < 360° - kąt, który nie jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest większa niż π [rad=180°], lecz mniejsza niż 2π [rad]=360°.

Kąty wypukłe < 180⁰Kąty wklęsłe > 180⁰i < 360⁰

^∘

Kąty pełne – 360⁰ Kąty półpełne 180⁰

Kąty rozwarte > 90⁰ i < 180⁰ Katy proste = 90⁰ Kąty ostre < 90⁰

Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe

Kąty przyległe – kąty, które maja wspólny wierzchołek, jedno wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą.

Suma kątów przyległych wynosi 180°.

Kąty wierzchołkowe – kąty o równych miarach, mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona wzajemnie się przedłużają

Dwie pary kątów wierzchołkowych powstają w wyniku przecięcia dwóch prostych:

Kąty odpowiadające

Kąty naprzemianległe

Kąty naprzemianległe wewnętrznie i zewnętrznie

Katy jednostronne zewnętrznie i wewnętrznie

Kąty naprzemianległe i odpowiadające

Jeżeli dwie proste, przetniemy trzecią, którą nazywamy wówczas prostą sieczną,
to utworzy się 8 kątów, mających następujące nazwy:

Kąty 3 i 6 oraz 4 i 5 - kąty naprzemianległe wewnętrzne
Kąty 1 i 8 oraz 2 i 7 - kąty naprzemianległe zewnętrzne
Kąty 1 i 5, 3 i 7, 2 i 6, 4 i 8 - kąty odpowiadające
Kąty 3 i 5, 4 i 6 - kąty jednostronne wewnętrzne
Kąty 3 i 5, 4 i 6 - kąty jednostronne wewnętrzne

Pomiędzy kątami, które tworzy sieczna z 2 prostymi równoległymi są pewne zależności:

Symetralna odcinka

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez środek odcinka.

Każdy punkt symetralnej odcinka jest równo oddalony od końców odcinka.

Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka.

Konstrukcja symetralnej odcinka oraz wyznaczenie środka odcinka AB

Aby skonstruować cyrklem i linijką symetralną danego odcinka AB należy:

1. Zakreślić cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach A oraz B o identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka AB.
Okręgi te przetną się w dwóch różnych punktach.

2. Poprowadzić prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów.

Wyznaczona prosta jest szukaną symetralną.

Powyższa konstrukcja jest również stosowana do wyznaczenia środka odcinka
ponieważ punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem jest właśnie tym środkiem.

W każdym trójkącie symetralne wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

Okrąg opisany na trójkącie
Środek okręgu opisanego na trójkącie, znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta
(symetralna to prosta dzieląca odcinek na pół i przecinająca go pod kątem prostym).

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta – półprosta, o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty przystające.

Dwusieczna jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi symetrii.

Konstrukcja dwusiecznej kąta AOB

Aby narysować dwusieczną, należy:

1. Z wierzchołka O danego kąta dowolnym promieniem zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach A, B

2. Z punktów A i B o tym samym co poprzednio promieniu (lub innym jednakowym)
zakreślić łuki, które przetną się w punkcie C

3. Półprosta OC jest dwusieczną

Narysuj kąt α o wierzchołku A. Przy pomocy cyrkla wyznacz na jego ramionach punkty B i C (przecięcie okręgu o promieniu BC z ramionami kata).

Z punktów B i C o jednakowym rozstawie (może być jak rozstaw poprzedni) zaznacz przecinające się łuki w punkcie M.

Z punktu A przez punkt M narysuj półprostą k, która jest dwusieczną kąta α – dzieli kąt na połowy.

Definicja dwusiecznej:
Zbiór punktów płaszczyzny/przestrzeni leżących w równej odległości od ramion kąta płaskiego / ścian kąta dwuściennego.

Własności:

· Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca przez wierzchołek kąta
(dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy).

· Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta.

· W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.

Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie - w środku okręgu wpisanego w trójkąt.

Twierdzenie o dwusiecznej - dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie
dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

Dowód. Stosunek pól trójkątów o równej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw,

na które tę wysokość opuszczono.

P2/P1 = c2*h/ c1*h = c2*h * h/c1 = c2/c1 = b/a

Trójkąty:

Różnoboczne - różne boki

Równoramienne – obliczanie kąta miedzy ramionami lub kątów przy podstawie

Równoboczne – równe boki i kąty

Ostrokątne – kąty mniejsze od 90 stopni

rozwartokątne – jeden kąt rozwarty

prostokątne – jeden kąt prosty

http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Podział trójkątów ze względu na boki:

trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości;
trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; i równe kąty

Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok

Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku.
Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem geometrycznym (barycentrum) trójkąta.
Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka
łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek.
Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Okrąg opisany na trójkącie i wpisany w trójkąt

Trójkąt różnoboczny

Trójkąt, którego każdy bok jest innej długości, to trójkąt różnoboczny.

Suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku.
|AB| < |AC| + |BC|,            c < a + b
|AC| < |AB| + |BC|,            b < c + a
|BC| < |AB| + |AC|.            a < c + b

Trójkąt równoramienny

Trójkąt, którego dwa boki są równej długości nazywamy trójkątem równoramiennym.

|AC| = |CB α = β.
Boki równe nazywamy ramionami, trzeci bok nazywamy podstawą.
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę. α = β.
Jeżeli trójkąt jest równoramienny, to kąty przylegające do jego podstawy są równe.
Trójkąt równoramienny posiada co najmniej jedną oś symetrii przecinającą podstawę w połowie długości oraz przechodzącą przez wierzchołek kąta łączącego ramiona.

W trójkącie równoramiennym dwie wysokości są równe.
Trzecia wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części, a półprosta, w której leży ta wysokość, dzieli kąt między ramionami trójkąta na dwa kąty o równych miarach.

Trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa:

a²+ b² = c²

a, b – długości przyprostokątnych, c – długość przeciwprostokątnej

Jeżeli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Długości boków trójkąta prostokątnego na podstawie twierdzenie Pitagorasa:

c = a = b =

a² + b² = c²

h =

Trójkąt prostokątny z kątami 90° 30° i 60° oraz 90°, 45°, 45°

h = a √3

c = a√2

Trójkąt równoboczny, wysokość trójkąta równobocznego

Trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości nazywamy trójkątem równobocznym.

Trójkąt równoboczny to szczególny trójkąt, który posiada następujące własności:
- wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°,
- wysokość trójkąta równobocznego h = a*√3 / 2
- wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne,
- wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta,
- wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1 :2,
- punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie,
- promień okręgu wpisanego w trójkąt r=1/3 *h lub r = a*√3 / 6
- promień okręgu opisanego na trójkącie R=2/3 h lub R = a √3 / 3
- pole trójkąta P=1/2 a*h lub P=a²* √3 / 4.

Wysokość trójkąta równobocznego: h =

Pole trójkąta równobocznego: P

R + r = h

Podstawowe wzory dotyczące trójkąta dowolnego:

Obwód: Obw. = a + b + c

Pole: P = ½ a*h

Cechy przystawania trójkątów

Dwa trójkąty są przystające, jeżeli ich odpowiednie boki i kąty są równe.

Cecha bok –bok -bok ( bbb)

Jeżeli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta to trójkąty są przystające

Cecha bok – kąt – bok ( bkb)

Jeżeli 2 boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty są przystające.

Cecha kąt – bok – kąt (kbk)

Jeżeli bok jednego trójkąt jest równy bokowi drugiego trójkąta i kąty przylegające do tego boku są równe odpowiednim kątom przylegającym do odpowiedniego boku
drugiego trójkąta – to trójkąty są przystające.

Boki trójkąta

Trzy odcinki są bokami trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych 2 boków jest większa od boku trzeciego

Boki a kąty trójkąta

Naprzeciw dłuższego boku trójkąta leży większy kąt i na odwrót – naprzeciw większego kąta leży większy bok.

Czworokąty:

różnoboczne,

trapezy,

równoległoboki,

prostokąty,

romby,

kwadraty,

deltoidy

Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.

Czworokąt to płaszczyzna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z czterech odcinków.

punkty A, B, C, D, to wierzchołki czworokąta,
odcinki AB, BC, CD, DA to boki czworokąta,
kąty α, β, γ, δ to kąty wewnętrzne czworokąta.
Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa 360°.
α + β + γ + δ = 360°.

Czworokąt jest figurą wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są kątami wypukłymi.

Czworokąt jest figurą wklęsłą wówczas, gdy jeden z jego kątów wewnętrznych jest kątem wklęsłym.

Prostokąt

Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.

Ob = 2a + 2b - obwód
P = a · b - pole

- przekątna

Własności prostokąta
- przeciwległe boki są równe i równoległe,
- sąsiednie boki są prostopadłe,
- każdy z kątów jest kątem prostym,
- przekątne są równe i dzielą się na połowy,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie,
- przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Kwadrat

Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe.

Przekątna kwadratu, wysokość trójkąta prostokątnego równobocznego

d² = a² + a²

d = a√2

Własności kwadratu
- wszystkie boki są równe,
- przeciwległe boki są równoległe,
- wszystkie kąty są proste,
- przekątne są równej długości,
- przekątne dzielą się na połowę pod kątem prostym,
- przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów kwadratu,
- przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne,
- punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu,
- punkt przecięcia przekątnych wyznacza środek okręgu wpisanego i opisanego na kwadracie.

Okrąg wpisany w kwadrat

Równoległobok

Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu równoramiennego - o dwóch parach boków równoległych.

Ob = 2a + 2b
P = a · h = a · b · sinα
P= ½ * d₁ * d₂ ⋅sinγ

Własności równoległoboku:
- przeciwległe boki są równoległe,
- przeciwległe boki są tej samej długości,
- przekątne dzielą się na połowy,
- przeciwległe kąty są równe,
- suma dwóch sąsiednich kątów równa jest 180°,
- przekątne dzielą się na połowy i wyznaczają punkt, będący środkiem ciężkości równoległoboku
- przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty
- na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie możne opisać okręgu i nie można też w niego wpisać okrąg.

Romb

Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Jest to szczególny przypadek równoległoboku.

Ob = 4a
P = a · h = a² · sinα
P= ½ * d ₁*⋅d ₂

Własności rombu
- wszystkie boki są równe,
- przeciwległe boki są równoległe,
- suma miar dwóch kątów sąsiednich wynosi 180°,
- przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów,
- przekątne rombu dzielą się na połowy pod kątem prostym,
- punkt przecięcia przekątnych rombu wyznacza środek okręgu wpisanego w romb,
- przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii rombu.

Trapez

Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

a - podstawa dolna trapezu
b - podstawa górna trapezu
c, d - ramiona trapezu,
h - wysokość trapezu
Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180°.
α + δ = 180°,
β + γ = 180°.

Obwód trapezu: Ob = a + b + c + d
Pole trapezu: P = ½ * (a+b) *h

Trapez równoramienny – ma równe ramiona

Kąty przy tej samej podstawie trapezu równoramiennego mają równe miary.
α + β = 180⁰
Przekątne p w trapezie równoramiennym mają równe długości.
Trapez równoramienny posiada oś symetrii będącą symetralną jednej z podstaw.

Trapez, którego jedno ramię tworzy kąty proste z podstawami, nazywa się trapezem prostokątnym.

W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe d jest wysokością trapezu h.

Deltoid

Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych,
w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.

Ob = 2a + 2b
P= ½ * d1 ⋅d2
P = a · b · sin α
Własności deltoidu
- kolejne boki są równe,
- kąty między różnymi bokami są równe,
- przekątne są prostopadłe,
- przekątna d₂ dzieli deltoid na dwa trójkąty równoramienne

Sześciokąt foremny

Okrąg opisany na czworokącie i okrąg wpisany

Obwody i pola figur płaskich

Figura	Oznaczenia	Obwód L	Pole	Promienie okręgu opisanego – R i wpisanego - r
Trójkąt	a, b, c – boki h_a, h_b, h_c – wysokości z boków a, b, c α, β, γ –kąty naprzeciw a, b, c α+ β+ γ = 180⁰	L = a+b+c Jeśli trójkąt równoramienny to L = a + 2b W trójkącie równobocznym L = 3a	*P = ½ a* h_a,** P = ½ bh_b P = ½ch_c *P = ½absin γ** P = ½bcsin α P = ½acsin β *P =√p(p-1)(p-b)(p-c),* gdzie p =1/2(a+b+c) P = abc/(4R) = rp P=2R² sinαsin β sin γ	R = R = abc/( 4P) r = r =
Kwadrat	a - bok	L = 4a	P = a²	R = ½ a √2 R = ½ * a
Prostokat	a, b - boki	L = 2a + 2b L = 2*(a+b)	P = a*b	przekątna d = R = d/2 R = r – nieokreślone okręgu nie można wpisać
Równoległobok	a, b – boki h_a, - wysokość opuszczona na a h_b – wysokość opuszczona na b	L = 2a + 2b L = 2*(a+b)	P = ah_a P=bh_b
Romb	a – bok e, f – przekątne rombu	L = 4a	P = ah P = ½ e*f	r = ½ * h r = ½ a * sin α R – nieokreślone
Trapez	a, b – podstawy c, d - ramiona	L = a+b+ c+d	P = ½ * (a+b)*h h – wysokość trapezu
Deltoid – przekątne prostopadłe	a, b – boki e, f - przekątne	L = 2a + 2b	P = ½ * e * f
Koło	r – promień d - średnica	L = 2πr L = πd	P = πr² P = πd²/4
Wycinek kołowy	r – promień koła α – kąt środkowy, na którym oparty jest łuk	L = * 2πr L = πr L = π*d	P_w = L = * 2π*r²

Wielokąty foremne:

trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny …

Wielokąt foremny

Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty równe.

Kąt środkowy (pomiędzy promieniami okręgu opisaneg0) wielokąta foremnego
α_s= 360⁰/n , gdzie n – ilość boków (kątów) wielokąta.

Kąt wewnętrzny ( kąt między sąsiednimi bokami)
α_w= 180⁰- α_s= 180⁰*(n-2) / n

Suma kątów wewnętrznych wielokąta zamkniętego: S α_w = (n-1)* 180⁰

Ilość przekątnych dowolnego n - kąta: n*(n-3)/2

Figura	Rysunek	Promień okręgu opisanego R	Promień okręgu wpisanego r	Pole S	Kąt wewnętrzny
Trójkąt równoboczny		h = R = 2/3 * h a =a 3/3	r = 1/3 * h a = a R + r = h	P = a² P =	60⁰ Kąt środkowy = 360/n = 120⁰
Kwadrat		R = ½ *d a = a	r = ½ a	P = a²	90⁰
Sześciokąt foremny		R = a	r =	P =	120⁰

________________________________________________________________________________________________________________________

Osie symetrii

Symetrie

Symetria osiowa

Symetrię osiową względem prostej k nazywamy również odbiciem symetrycznym względem prostej k lub symetrią względem prostej k.
Każdy punkt prostej k jest punktem stałym symetrii

Przykłady

Odcinek ma 2 osie symetrii – prostą przechodzącą przez odcinek i symetralną odcinka

Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii, a trójkąt równoboczny 3 osie symetrii

Kwadrat ma 4 osie symetrii

Prostokąt – 2 osie

Romb – 2 osie

Równoległobok, który nie jest rombem nie ma osi symetrii

Trapez równoramienny – jedna oś symetrii

Deltoid – 1 oś symetrii

Koło – nieskończenie wiele osi symetrii – każda prosta przechodząca przez środek koła

Symetria środkowa – symetria względem punktu

Dwa punkty P i P’ są symetryczne do siebie względem danego punktu O, jeżeli punkt O jest środkiem odcinka PP’.

Symetrią środkową względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy przekształcenie płaszczyzny, w którym punkt O jest stały,
a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt A' taki, że punkt O jest środkiem odcinka AA'.
Symetrię środkową o środku O nazywamy również odbiciem symetrycznym względem punktu O lub symetrią względem punktu O.
Punkt O jest punktem stałym symetrii środkowej.

Figura f ma środek symetrii S, jeżeli punkty symetryczne względem S do punktów figury f też należą do f.
Punkt S nazywamy środkiem symetrii figury f.

Środek symetrii figury – punkt względem którego obrazem figury jest ta sama figura.

Figura mająca jeden środek symetrii nazywa się środkowo symetryczną.

Przykłady

Równoległobok ma środek symetrii – punkt przecięcia przekątnych

Prosta ma nieskończenie wiele środków symetrii

Koło ma środek symetrii – środek koła

Żaden trójkąt nie ma osi symetrii.

Symetria w układzie współrzędnych – względem początku układu współrzędnych.

Punktem symetrycznym do punktu A = (x, y) jest punkt A’ = (-x, -y),
punktem symetrycznym do punktu B = (-x, y) jest punkt B’ = (x, -y)

Oś symetrii figury

Oś symetrii figury jest prostą, względem której figura ta jest do siebie symetryczna osiowo.
Oś symetrii dzieli figurę na 2 części przystające.

Figura f ma oś symetrii k, jeżeli punkty symetryczne względem k do punktów figury f też należą do f. Prostą k nazywamy osią symetrii figury f.

Figurę, która posiada co najmniej jedną oś symetrii nazywamy osiowosymetryczną.

Figury z jedną osią symetrii

Figury z 2 osiami symetrii

Figury z 3 osiami symetrii

Osie symetrii wśród wielokątów:
trójkąt równoramienny - 1 oś symetrii,
trójkąt równoboczny - 3 osie symetrii,
kwadrat - 4 osie symetrii,
prostokąt - 2 osie symetrii,
romb - 2 osie symetrii,
równoległobok - nie posiada osi symetrii
trapez równoramienny - 1 oś symetrii,
deltoid - 1 oś symetrii.

Figury z nieskończoną ilością osi symetrii: okrąg, koło.

Koło i okrąg

Koło o środku O i promieniu r to zbiór wszystkich punktów, które leżą w odległości od punktu O nie większej niż r.

Koło to część płaszczyzny ograniczona okręgiem wraz z tym okręgiem.

Okrąg-o środku O i promieniu r to zbiór punktów, które leżą w odległości r od punktu O. Oznaczamy o(O, r)
Okrąg - krzywa, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości r od danego punktu O zwanego środkiem okręgu.

r - promień; O - środek koła lub okręgu, d – średnica = 2r

Cięciwa – odcinek, którego końce leżą na okręgu.
Najdłuższa cięciwa nazywa się średnicą d.

Łuk – część okręgu, zawarta miedzy 2 punktami leżącymi na okręgu, wraz z tymi punktami.

Wycinek koła – część koła zawarta między 2 promieniami wraz z tymi promieniami i łukiem.

Dwa promienie dzielą koło na 2 wycinki.

Odcinek koła – część koła zawarta między cięciwą i łukiem wraz z tą cięciwą i łukiem.

Cięciwa dzieli koło na 2 odcinki.

Wzajemnie położenie dwóch okręgów

Rozłączne

Przecinające się

Styczne zewnętrzne

Styczne wewnętrznie

Wzajemnie położenie okręgu i prostej

Okrąg i prosta nie mają punktów wspólnych – odległość prostej od środka okręgu jest promienia

Mają 2 punkty wspólne - odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od promienia

Mają dokładnie jeden punkt wspólny – styczna do okręgu. Odległość stycznej jest równa długości promienia.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej w tym punkcie.

Dwie styczne przecinające się wyznaczają dwa odcinki równej długości.

Długość okręgu i pole koła

Długość okręgu: L = 2πr

Pole koła: P = πr²

Długość łuku okręgu o kącie środkowym α i promieniu r: Ł = α/ 180^o * πr²

Pole wycinka koła: P_w= α/ 360^o * πr²

____________________________________________________________________________________________________________________________

Kąty w kole

Kąt środkowy – kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła, a ramiona zawierają promienie.

Wszystkie kąty środkowe oparte na łuku o tej samej długości, w tym samym okręgu są równe.

Kąt wpisany – kąt, którego wierzchołek znajduje się na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy.

Wszystkie kąty wpisane w ten sam okrag oparte na tym samym łuku są równe.

Własności kątów wpisanych i opisanych:

1. Jeżeli kąty środkowe w kole mają równe miary, to długości łuków, na których opierają się te kąty są takie same.

2. Jeżeli kąt wpisany i opisany oparte są na tym samym łuku, to miara kąta środkowego jest 2 razy większa od miary kata wpisanego

3. Jeżeli kąt wpisany jest opary na półokręgu (średnicy), to ten kąt jest kątem prostym

4. Jeżeli kąty wpisane oparte są na łukach tej samej długości to mają te same miary.

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetnie się dwiema prostymi równoległymi,
to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta

są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez proste na drugim ramieniu kąta.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetnie się 2 prostymi i długości odcinków wyznaczonych przez te proste

Na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu
kąta, to te proste są równoległe.

Jednokładność i podobieństwo figur

Jednokładność o środku S i skali k to przekształcenie punktu A na A’, w którym:
punkty S, A i A’ są współliniowe oraz |SA’| = k*|SA|

Jednokładność odwrotna to jednokładność o skali ujemnej.

Własności jednokładności:

Środek jednokładności, punkt i jego obraz są współliniowe

Odcinek i jego obraz są odcinkami równoległymi

Stosunek długości odcinka i jego obrazu jest równy k

Stosunek pól figur jednokładnych jest równy k²

Podobieństwo figur

Figury są podobne, jeżeli odpowiednie odcinki jednej figury są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiej figury.

Skala podobieństwa figur k – stosunek odcinków proporcjonalnych.

Dwa prostokąty są podobne, jeżeli stosunek długości dwóch prostopadłych boków jednego prostokąta

jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków drugiego prostokąta

Cechy podobieństwa trójkątów:

Trójkąty są podobne jeżeli:

Kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe kątom drugiego trójkąta

Boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta

Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami są równe.

Stosunek pól 2 figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa

P2 / P1 = k²

Stereometria - bryły

Wielościany

Wielościanem wypukłym nazywamy każdą bryłę wypukłą, której brzeg jest sumą mnogościową skończonej liczby wielokątów.

Ścianą wielościanu wypukłego nazywamy taki wielokąt, który jest częścią wspólną płaszczyzny i brzegu wielościanu.

Krawędzią wielościanu nazywamy bok jego ściany.

Wierzchołkiem wielościanu nazywamy wierzchołek jego ściany.

Twierdzenie Eulera
Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to
w - k + s = 2

Pole powierzchni wielościanu równe jest sumie pól wszystkich jego ścian.

Wielościany foremne

Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi
i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.

Wielościany foremne: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan…

Czworościan (tetraedr)
Ma 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.

Sześcian (heksaedr)
Ma 6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.

Graniastosłupy

Graniastosłup to wielościan, którego dwie ściany (zwane podstawami) są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych,
a pozostałe ściany są równoległobokami.

Podstawy są równoległe

Ściany zawarte w płaszczyznach podstaw nazywamy podstawami graniastosłupa.

Pozostałe ściany są równoległobokami i nazywamy je ścianami bocznymi graniastosłupa.

Graniastosłup, którego podstawą jest n-kąt, nazywamy graniastosłupem n-kątnym.

Wysokość H graniastosłupa to odcinek zawarty w prostej prostopadłej do jego podstaw, którego końcami są punkty wspólne tej prostej
z płaszczyznami zawierającymi podstawy graniastosłupa.

Przekątną graniastosłupa nazywamy każdy odcinek, którego końcami są wierzchołki obu podstaw graniastosłupa i który nie zawiera się w żadnej ze ścian graniastosłupa.

Wśród graniastosłupów wyróżniamy graniastosłupy proste i pochyłe

Graniastosłup prosty to figura przestrzenna, której podstawy są przystającymi wielokątami, a wszystkie ściany boczne są prostokątami.

Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi nazywamy graniastosłupem prawidłowym.

W graniastosłupie prawidłowym ściany boczne są figurami przystającymi.

Jeżeli graniastosłup ma w podstawie wielokąt o n-kątach to:

- liczba ścian s = n+2

- liczba wierzchołków w = 2n

- liczba krawędzi k= 3n

- n – ilość wierzchołków (boków, kątów) podstawy

Prostopadłościan – graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami

H = c – wysokość prostopadłościanu

P = 2Pp + Pb - pole całkowite

P = 2ab + 2bc + 2bH

V = a*b*H - objętość prostopadłościanu

W podstawie: prostokąt o wymiarach a * b

Liczba ścian 6

Liczba wierzchołków 8

Liczba krawędzi 12

Sześcian – graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami

Szczególny przypadek prostopadłościanu.

Siatka sześcianu

Sześcian

W podstawie: kwadrat a x a

Liczba ścian: 6

Liczba wierzchołków: 8

Liczba krawędzi: 12

Graniastosłup trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny – w podstawie ma trójkąt równoboczny

Siatka

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa,
jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi ostrosłupa,
są trójkątami o wspólnym wierzchołku

Wspólny wierzchołek ścian bocznych ostrosłupa nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy nazywamy spodkiem wysokości ostrosłupa.
Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze spodkiem wysokości ostrosłupa.

Sumę powierzchni wszystkich ścian bocznych ostrosłupa nazywamy powierzchnią boczną graniastosłupa.

Sumę powierzchni bocznej i podstawy ostrosłupa nazywamy powierzchnią całkowitą ostrosłupa.

Ostrosłup o dowolnej podstawie

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o polu podstawy P_p i polu powierzchni bocznej P_b jest równe:
P_c = P_p₊ P_b

Objętość ostrosłupa o polu podstawy P_p i wysokości H jest równa
V= 1/3 * P_p* H

Czworościan foremny – podstawa i ściany boczne – trójkąty równoboczne o krawędzi a

Pc = a²* √3 V = 1/3 * Pp * H V = 1/3 * a³ * √12

Ostrosłup prawidłowy n–kątny

Pb = n/2 * a * hs P = Pp + Pb V = 1/3 * Pp * H

Walec

Walec:
Pp = π * r² Pb = 2* π * r * H Pc = 2*Pp + Pb = 2 π r (H + r)

Kula

Kula:
P = 4/3 * π * R² = π * d² V = 4/3 * π * R² = 1/6 * π * d²

Stożek

r – długość promienia podstawy, l – długość tworzącej stożka

Pp = π r²

Pb = π * r * l

Pc = Pp + Pb = π r² + π * r * l = π r (r + l)

V = 1/3 * Pp * H

Działania arytmetyczne w zbiorze liczb rzeczywistych

Potęgi liczbowe

an = a*a*a … a_n - n razy

0n = 0

a0 = 1 a<> 0

a1 = 1

a² = a*a a do potęgi drugiej lub a do kwadratu

a³= a*a*a a do potęgi trzeciej lub a do sześcianu

Potęga liczby ujemnej jest dodatnia, jeśli wykładnik jest parzysty: np. (-2)² = (-2)*(-2) = 4

Potęga liczby ujemnej jest ujemna, jeśli wykładnik jest nieparzysty: np. (-3)³ = -27

Działania na potęgach

Mnożenie potęg:

aⁿ* a^m = a^m+n , np. 5²*5¹= ⁵²⁺¹= 5³

Dzielenie potęg:

a^m : aⁿ = a^m-n, dla a<>, 0 np. 2⁵:2³ =2^5-1= 2¹ = 2

Potęgowanie potęgi:

(aⁿ)^m = a^n*m np. (2³)² = 2⁶ = 64

Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach:

aⁿ * bⁿ = (a*b)ⁿ 4² * 2² = (4*2)² = 8² = 64

Dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach:

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ dla b <> 0

Potęga o wykładniku całkowitym

a^-n = (1/a)ⁿ dla a <>0

(a/b)^-n = (b/a)ⁿ dla a, b <>0

Notacja wykładnicza

Notacją wykładniczą liczby b nazywamy zapis tej liczby w postaci iloczynu liczby a oraz potęgi liczby 10.
Notacja wykładnicza polega na zapisaniu liczby w postaci iloczynu składającego się z 2 czynników:
pierwszy to liczba większa/równa 1 i mniejsza od 10, drugi czynnik to potęga liczby 10
b= a* 10ⁿ a – liczba spełniająca warunek 1 = a < 10 10ⁿ – potęga liczby 10 o wykładniku całkowitym n

Przykłady:

360000000 = 3,6 * 10 8 Liczba 3,6 spełnia warunek 1 <= 3,6 <10

0,0000576 = 5,76 * 10^-5 Liczba 0,0000576 = 5,76 / 10⁵ = 5,76 * 10⁵

25,7*10⁷ = 2,57 * 10*10⁷ = 2,57*10⁸

0,064*10^-8 = 6,4*10_2*10^-8 = 6,4*10^-10

Pierwiastki

Pierwiastek drugiego stopnia (pierwiastek kwadratowy) z liczby nieujemnej a (a>=) to taka liczba nieujemna b,
która podniesiona do potęgi drugiej daje liczbę podpierwiastkową a

√a = b, gdy b² = a

√4 = 2, bo 2² = 4

√0,25 = 0,5, bo 0,5² = 0,25

Pierwiastek trzeciego stopnia (sześcienny) z liczby a, to taka liczba b,
która podniesiona do potęgi trzeciej daje liczbę podpierwiastkową a

= b, gdy b³ = a np. = 2 bo 2³ = 8

Pierwiastek n - tego stopnia

Pierwiastek n - tego stopnia, n>= 2 , z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, która podniesiona do potęgi n równa się liczbie a.

=b, wtedy i tylko wtedy, gdy bⁿ =a

Własności pierwiastków

√a * √b =

dla a>= 0 i b >0

= dla a i b> 0

Potęga o wykładniku wymiernym dla dowolnej liczby nieujemnej a i liczby naturalnej n

a(^{1/n) n} = a

Wyłączanie czynniki przed znak pierwiastka

√50 =

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

2*√3 = √4 * √3 = √12

Liczby niewymierne

Liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego o liczniku i mianowniku całkowitym.

Przykłady: √2 √3 liczba π

Liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych.

Usuwanie niewymierności z mianownika

np. 1/√2 = √2 /2

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy
(a + b)² =a² +2ab + b²

Kwadrat różnicy
(a -b)² =a² – 2ab + b²

Iloczyn sumy i różnicy 2 wyrażeń jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń:
(a + b) * (a – b) = a² – b²

(a³ + b³) = (a + b)*(a² –ab + b²)

(a³ - b³) = (a - b)*(a²+ab + b²)

(a + b)³ =a³ + 3a²b +3ab² + b³

(a - b)³ =a³ - 3a²b +3ab² - b³

(a + b)ⁿ = aⁿ + (n 1)*a^n-1 + (n 2 )*a^n-2*b2 + … (n n-1)*a*b^n-1+ bⁿ gdzie (n k) symbol Newtona (n k) = n! / (k! * (n-k)! )

Przedziały liczbowe

Dla danych liczb a i b takich, że a < b definiuje się przedziały liczbowe następująco:

Przedziały ograniczone:

Przedział otwarty o końcach a i b, a < b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x, które spełniają warunek a < x < b
Zapisujemy to symbolicznie jako (a; b);

(a; b) = {x ∈ R: a < x < b} – zapis przedziału otwartego o końcach a i b .

Przedział obustronnie domknięty o końcach a i b, a < b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x, które spełniają warunek a ≤ x ≤ b
Zapisujemy to symbolicznie jako <a; b>;

<a; b> = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b } – zapis przedziału obustronnie domkniętego końcach a i b .

Przedział lewostronnie domknięty o końcach a i b, a < b nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x, które spełniają warunek a ≤ x < b
Zapisujemy to symbolicznie jako <a; b);

<a; b) = {x ∈ R: a ≤ x < b } – zapis przedziału lewostronnie domkniętego końcach a i b .

Analogiczne przedział prawostronnie domknięty (a; b> (a; b> = {x ∈ R: a < x ≤ b }

Przedział otwarty nieograniczony (a; + ∞) nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które spełniają warunek a > a.
Symbolicznie zapisujemy jako (a; + ∞) = {x ∈ R: x> a }

Przedział domknięty nieograniczony <a; + ∞) nazywamy zbiór tych liczb rzeczywistych, które spełniają warunek a ≥ a.
Symbolicznie zapisujemy jako <a; + ∞) = = {x ∈ R: x≥ a }

Przedziały nieograniczone

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby x ∈ R nazywamy odległość punktu o współrzędnej x od początku osi liczbowej.
Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x|, wartość bezwzględną a jako |a| itd.

Przykłady:
|5| = 5, |-5| =5; czyli |-5| = 5 = |5|; |1/2| = |-1/2| = ½

Odległość między punktami o współrzędnych a, b na osi liczbowej to |a – b|
Odległość punktów I b oznaczamy |AB|.

Zapis definicja wartości bezwzględnej
|x| = { x dla x ≥ 0
{ -x dla x < 0

|a| = { a dla a ≥ 0
{ -a dla a < 0

| a | ≥ 0 | a – b | = |b – a| |ab| = |a|*|b|

{a/b| = |a|/|b| gdy b ≠ 0 |a + b | < |a| + |b| √a² = |a|

Wartość bezwzględna różnicy liczb a i b czyli |a – b| jest równa odległości liczby a od liczby b na osi liczbowej.

---------------o------------------------o---------------------------------o--------------à x
0 a |a –b| = |b - a| b

Elementy statystyki opisowej

Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych uzyskanych podczas badania statystycznego.
Celem stosowania metod statystyki opisowej jest podsumowanie zbioru danych i wyciągnięcie pewnych podstawowych wniosków i uogólnień na temat zbioru.
Statystykę opisową stosuje się zazwyczaj jako pierwszy i podstawowy krok w analizie zebranych danych.
Podstawowym zadaniem statystyki opisowej jest badanie rozkładu wartości pojedynczych cech w populacjach liczących wiele elementów.
Do badań takich potrzebny jest zwykle zestaw danych uzyskany w wyniku pomiaru badanej cechy.

Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:
1. Opis tabelaryczny.
Dane przedstawiane są w postaci tabel.
Dla małych zbiorów danych tabele mogą prezentować wszystkie dane, w przeciwnym przypadku tworzy się podsumowania.
2. Graficzna prezentacja wyników.
Dane prezentowane są w formie graficznej, np. histogram, krzywa liczebności, wykres pudełkowy.
3. Wyznaczanie miar rozkładu.
Do opisu służą miary rozkładu, obliczane na podstawie uzyskanych danych.
Interpretacja wartości tych miar dostarcza informacji na temat charakteru rozkładu cechy.

Miary można podzielić na kilka podstawowych kategorii:
miary położenia, np. średnie: arytmetyczna, geometryczna, kwadratowa, harmoniczna; oraz mediana, dominanta.
miary zróżnicowania (rozproszenia): np. odchylenie standardowe, wariancja.
miary asymetrii
miary koncentracji

Miary statystyczne pozwalają na ocenę rozkładu wartości badanej cechy w zestawie danych.

Miary wartości średniej (tendencji centralnej)

Do oceny wartości średniej zestawu danych służą różne średnie oraz miary takie jak mediana i dominanta

Średnia arytmetyczna liczb x₁, x₂, x₃, … x_n- liczby rzeczywiste

x_a = (x₁ + x₂ + x₃ + … x_n) / n

Średnia ważona liczb x1, x2, x3 … x_n (liczby rzeczywiste) z wagami odpowiednio p1, p2, p3, … pn (liczby dodatnie)
(p_i– wagi odpowiadające spostrzeżeniom x_i– liczby dodatnie)
x_w = (p₁*x₁ + p₂*x₂ + p₃*x₃ + … p_n*x_n) / (p₁ + p₂ + p₃ + … p_n)
Przykład zastosowania: średnia ważona ocen ucznia – różna skala wartości ocen – odpowiednie wagi

Średnia geometryczna liczb x1, x2, x3 … x_n (liczby nieujemne)
x_g = ⁿ√(x₁*x₂*x₃* … x_n)

Średnia harmoniczna liczb x1, x2, x3 … x_n (liczby różne od zera)
x_h = n / (1/x1 + 1/x2 + … + 1/x_n)

Średnia kwadratowa liczb x₁, x₂, x₃, … x_n- liczby rzeczywiste
x_k = √(x₁² + x₂² + … + x_n²)/n

Mediana Me
Mediana zestawu danych Me rozdziela zestaw danych na 2 w przybliżeniu równe części:
do jednej części należą dane o wartości nie większej od mediany, a do drugiej dane o wartości nie większej od mediany.
W celu wyznaczenia mediany należy zestaw danych uporządkować rosnąco (od najmniejszej do największej wartości)
Jeśli zestaw danych składa się z nieparzystej ilości danych, to medianą jest wartość stojąca w środku zestawu.
Jeśli zestaw danych składa się z parzystej ilości danych, to medianą jest średnia arytmetyczna 2 wartości stojących w środku zestawu.

Dominanta – wartość modalna, moda
Dominanta zestawu danych x₁, x₂, x₃, … x_nnazywamy wartość Do, która w tym zestawie powtarza się najczęściej.
W zestawie danych może być więcej niż jedna dominanta.

Miary zróżnicowania
Służą do oceny odchyleń wartości cechy od wartości średniej w rozpatrywanym zestawie danych.
Do najważniejszych miar zróżnicowania (rozproszenia) należą: wariancja i odchylenie standardowe.

Wariancja zestawu danych x₁, x₂, x₃, … x_n, dla średniej arytmetycznej x_s

σ² = ( (x₁ – xs )²+ (x₁ – xs )²+ (x₂ – xs )²+ … (x_n – xs )²) / n
lub
σ² = ( x₁² + x₂² + … + x_n²) /n - x_s²

Wariancja określa średni kwadrat odchyleń liczb zestawu danych od średniej tego zestawu

Odchylenie standardowe zestawu danych x₁, x₂, x₃, … x_n
σ = √ σ²

Odchylenie standardowe określa średnie odchylenie liczb w zestawie danych od średniej zestawu.

Przykład:
x1 = 4, x2 = 5 ; p1 = 2, p2 = 3
x_a= (4 + 5) / 2 = 4,5
x_w =(2*4 + 3*5)/(2 +3) = (8 + 15)/5 = 23/5 = 4,6

Linki zewnętrzne:

Wykresy: http://www.jogle.pl/wykresy/

http://eszkola.pl/matematyka http://www.idg.pl/ftp/pc_1548/advanced.grapher.207.html http://matemaks.pl/
http://www.jogle.pl/wykresy/ http://matemaks.pl/program-do-rysowania-wykresow-funkcji.php http://www.math.edu.pl/narzedzia.php?opcja=wykres-funkcji
http://portalmatematyczny.pl/rysowanie-wykresu-funkcji http://pl.numberempire.com/graphingcalculator.php

Programy do instalacji: http://www.idg.pl/ftp/pc_1548/advanced.grapher.207.html
Portale

Szkoła podstawowa: http://www.matzoo.pl/ http://matmag.pl/ http://matematyka.opracowania.pl/podstawowa/ http://www.math.edu.pl/testy-sp
Gimnazjum, liceum i inne:

http://www.matemaks.pl/

http://www.matematyka.pl/ http://www.math.edu.pl/ http://www.matemaks.pl http://www.serwis-matematyczny.pl/ http://www.matematykam.pl/
http://www.wolframalpha.com/ http://zadane.pl/ http://www.matzoo.pl/ http://www.nowiny24.pl/matura http://www.serwis-matematyczny.pl/ http://www.matzoo.pl/
http://www.nowiny24.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=/20120430/MATURA_Z_MATEMATYKI_2012/120439999 http://matematyka.pisz.pl/ http://www.zadania.info/
http://www.matemaks.pl/wykres-funkcji.php http://www.jogle.pl/wykresy/ http://www.wykresyfunkcji.pl/ http://www.matematyka.pl/61976.htm