Procenty, podatki, operacje bankowe, promile

 Procent danej wielkości to jedna setna tej wielkości.
Procenty to zapisane w inny sposób ułamki o mianowniku 100.

Procent = 1/100 całości

 1% = 1/100 = 0,01     12% = 12/100 = 0,12  130% = 130/100 = 1,3

 P% = 0,01*p = p* 1/100 = p/100

P% wielkości  K  to  p/100 * K

 

Zamiana procentu p na ułamek  – dzielimy procent przez 100

x = p/100

 35% = 35/100 = 0,35 = 7/20

12,5% = 12,5:100 = 0,125

 Istnieją 3 podstawowe zadania związane z obliczeniami procentowymi:

- obliczenie procentu danej liczby

- obliczenie liczby, gdy dany jest jej procent

- obliczenie jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba

Przykład:

a)      Oblicz 12% liczby 80
12% * 80 = 0,12*80 = 9,6

b)      Oblicz liczbę, której 30% wynosi 10,5
10,5 / 30% = 10,5 / 0,3 = 105/3 = 35

c)       Jaki procent liczby 120 stanowi 40?
40/120 * 100% = 1/3 * 100% = 100/3 % = 33 1/3 % = 33,(3) %

 W obliczeniach procentowych często korzystamy z proporcji :
 a/b = c/d

 Stosujemy „regułę trzech”

a = b*c / d      b = a*d / c      c = a*d / b      d = b*c / d

 

 

Obliczanie procentu z danej liczby  - obliczanie wartości w procentu p danej liczby  a

– pomnożenie liczby a  przez procent p zapisany w postaci ułamka

w =  p% /100 * a       a – dana liczba, p – procent danej liczby a,   w – szukana wartość p% z a

b = p% / 100 * a        a – dana liczba, p – procent danej liczby a,  b – szukana wartość p% z a

 

 Przykłady:
1   Oblicz 30% z liczby 120: 
Dane: a = 120, p = 30%.  Szukane w

 I metoda – zastosowanie wzoru
30%*120 = 30/100 * 120 = 30*120 / 100 = 36
 lub 0,30*120 = 36

 II metoda – zastosowanie proporcji

Wykorzystanie proporcji

a to 100%

b to p%

b/a = p/100

b = a * p /100 = p/100 * a

 b = 120*30/100 = 36

 2  Produkcja w wysokości 120 sztuk ma być zwiększona o 10 %. Ile sztuk trzeba zrobić więcej?

w = 10% / 100% * liczba  = 10/100 * 20 = 10*120/100 = 12 sztuk

lub   w = 0,10 * 120 = 12

 

 Gdy szukamy p % danej liczby a, gdzie p < 100, otrzymujemy liczbę mniejszą od liczby a

Gdy szukamy p % danej liczby a, gdzie p > 100, otrzymujemy liczbę większą od liczby a

Przykład

   15%  liczby 180 = 0,15*180 = 27   27 < 180
120 % liczby 180 = 1,20*180 = 216  216 > 180

  

Obliczanie liczby x  na podstawie  danego jej procentu
(dana wartość liczby w  przy procencie p%)

p%/100% * x = w

x = w*100% /p% = w/p *100

x = w/p * 100

 

Przykłady:
1.   Znajdź  liczbę, której 30% jest równe 123.
Dane: w = 125, p = 30%. Szukane x

x = 123/30*100 = 410

lub
 30%x = 123

0,3 x = 123 /:0,3

X = 123/0,3 = 410

1.       Znajdź liczbę, której 5% wynosi 10

 5%a = 10

a=10/5%  à a = 10/0,05 = 1000/5 = 200

lub  0,05a = 10 /0,05  a = 10/0,05 = 200      

2.       Wyroby końcowe ważą 300 kg, zaś straty materiału to 20%. Ile materiału zużyto?
z = 300/80 * 100 = 375 kg

3.       Ile ważyły gotowe wyroby, gdy przy stracie 20% zużyto 600 kg?
z = 600/120 * 100 = 500kg

 

 Jakim procentem danej liczby a jest druga liczba b
– dzielimy liczby i mnożymy prze 100%

Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, zaczynamy od ustalenia, jakim ułamkiem jednej liczby jest druga, a następnie zamieniamy ten ułamek na procent.

x = b/a * 100%

 Przykłady:

1)      Jakim procentem liczby 48 jest liczba 12?
a = 12, b = 48

12/48 = ¼       ¼* 100% = 25%

 2)  W wyborach brało udział 200 osób, Kowalski uzyskał 150 głosów.
Ile procent wyborców głosowało na Kowalskiego.

150/200 * 100% = 0,75 * 100% = 75%

 3)  Towar kosztował 450 zł. Obecnie kosztuje 396 zł. O ile % obniż ono cenę?

I sposób:

396/450 * 100% = 88%        

100% - 88% =12%

II sposób

450-396 = 54

54/450 = 54/450 * 100% = 12%

 

 Podatki – VAT (Value Added Tax)

 Cena towaru brutto = cena netto + wartość VAT

Wartość VAT = %VAT* netto

VAT = netto * %VAT = 0,01VAT*netto

Brutto = netto + %VAT * netto = netto*(1 + %VAT/100)

Netto = brutto / (1 + %VAT/100)

 

Przykład 1:

Cena towaru netto = 35 zł, stawka VAT = 7%. Oblicz cenę brutto (z podatkiem VAT).

Dane: cena netto = 35, %VAT = 7%

Szukane: cena brutto i wartość VAT
Cena towaru brutto = cena netto + VAT

VAT = %VAT * netto

netto = 35, %VAT = 7%
VAT = 7% * 35 = 0,07 *35 = 2,45
brutto = netto + VAT = 35 + 2,45 = 37,45

lub: brutto = (1 + VAT%/100)*netto                        brutto = 1,07*35 = 37,45

 

Przykład 2:
Cena towaru brutto z 7% podatkiem VAT = 37 zł 45 gr. Oblicz cenę netto ora podatek VAT.
Dane: cena brutto = 37,45 zł i %VAT = 7%

Szukane: x = cena netto, wartość VAT
1,07*x = 37,45

x = 37,45 / 1,07 = 35 – cena netto

VAT = brutto – netto

VAT = 37,45 – 35 = 2,45 zł

 

 

Operacje bankowe

 Lokata na procent prosty i procent składany

 Procent prosty – dochód w postaci odsetek nie jest doliczany do wkładu i nie procentuje wraz z nim w następnym okresie oszczędzania

W przypadku stosowania procentu prostego odsetki nie są doliczane do kapitału na następny okres, czyli w następnym okresie
nadal podlega oprocentowaniu tylko sam początkowy wkład pieniężny

 Odsetki i kapitał przy oprocentowaniu prostym

Odsetki za okres	1 roku	m miesięcy	t dni	n lat
	p*K / 100	p*K*m / (100*12)	p*K*t / (100*365)	p*K*n /100
Kapitał po okresie	K*(1+p/100)	K*(1+p*m*/(100*12))	K*(1 + p*t/(100*365))	K*(1 + p*n /100)

K – kapitał złożony w banku, p – oprocentowanie (stopa procentowa)

 

Przykład: Kowalski wpłacił do banku 2000 zł i założył lokatę na 2 lata na procent prosty.
Roczna stopa oprocentowania była równa 8% i miała być stała przez cały okres lokaty.
Oblicz stan Kowalskiego po upływie 2 lat.

Rozwiązanie:

 K = 2000 zł, p = 8%

Stan konta po upływie

1 roku:  2000 zł + odsetki 8 * 2000 / 100 =  2000 + 160  = 2160 zł

2 lat:  2000 zł + odsetki 8*2000*24 / (100*12) =  2000 + 320 = 2320 zł

Obliczenie bezpośrednie według wzoru z tabeli – po 2 latach

K = 2000*(1 +  8* 2 /100) =  2000*(1 + 2 * 8/100) = 2000*(1 + 0,16) =  2000 * 1,16 = 2320 zł

 

 Kapitalizacja odsetek

 Procent składany – sposób oprocentowania kapitału, polegający na tym, że odsetki po roku (lub innym okresie oszczędzania),
w którym obowiązuje ustalona stopa procentowa, dopisywane są do kapitału i procentują wraz z nim w następnym okresie oszczędzania

 Procent składany i kapitalizacja odsetek

 Jeżeli kapitalizacja odsetek (dopisanie odsetek do złożonego kapitału) następuje po upływie każdego roku,
to po n latach kapitał K_n wyniesie:

 K_k = K*(1 + p/100)ⁿ

 Gdzie: K – kapitał wpłacony do banku na n okresów przy danym oprocentowaniu p% w każdym z okresów (np. roku),
a odsetki będą kapitalizowane po każdym z n okresów;
K_k – kapitał na zakończenie okresu lokaty

 Przykład:
Kowalski wpłacił do banku 2000 zł i założył lokatę na 2 lata na procent składany.
 Oprocentowanie w skali roku wynosi 8%. Ile otrzyma pieniędzy po 6 miesiącach, po roku i po 2 latach?

Rozwiązanie: K 2000 zł, p = 8%, n = 2 lata

- po 6 miesiącach

8%/2 = 4%  - oprocentowanie na pół roku

4% * 2000 zł – 0,04 * 2000 = 80

2000 + 80 = 2080 zł   lub 1.04*2000 = 2080zł – po 6 miesiącach

- po I roku

8% * 2000 = 0,08 * 2000 = 160

2000 + 160 = 2160 zł - po I roku

- po II roku

8% * 2160 = 0,08 * 2160 = 172,80 zł

2160 + 172,80 = 2332,80 zł  - po 2 latach

 

Obliczenie kapitału na zakończenie lokaty po 2 latach bezpośrednio według wzoru z procentem składanym

K₂ = K*(1 + 8/100)² = 2000 * (1 + 8/100)² = 2000* 1,08² = 2332,80

 

Jeżeli kapitalizacja następuje t razy w roku, to po n latach kapitał wyniesie

K_k  = K * (1 + p/(100*n)^t*n

 

 

Punkty procentowe

 

Punkt procentowy - jednostka różnicy między dwiema wartościami jednej wielkości
podanymi w procentach.
Na przykład wzrost jakiejś wielkości z 20% do 30% jest równy 10 punktom procentowym.

 

Zadania:

1  Bank obniżył oprocentowanie kredytu z 15% na 13,5%.

O ile punktów procentowych bank obniżył oprocentowanie kredytu?

pp = 15% - 13,5% = 1,5 punktu procentowego

Bank obniżył oprocentowanie o 1,5 punktu procentowego

O ile procent mniej zapłaci kredytobiorca?

p /100 = 1,5 / 15  - proporcja

p = 1,5*100/15= 150/15 = 10%

Odsetki od kredytu zmniejszyły się o 10%.

Oznacza to zmniejszenie się wysokości odsetek o 10% od poprzedniej wielkości ( nie w ogóle).

2  Bezrobocie wzrosło z11% do 13%.

O ile punktów procentowych wzrosło bezrobocie?

O ile procent wzrosło bezrobocie?

pp = 13% - 11% = 2%

p/100 = 2/11

p = 100*2/11 = 200/11 = 18,18%

Bezrobocie wzrosło o ok. 18,18% w stosunku do poprzedniego poziomu.

 

 

Promile

 

Promil – 1/1000 część pewnej wielkości lub liczby

Jest  to ułamek o mianowniku 1000 lub ułamkiem dziesiętnym z trzema miejscami po przecinku

1%o = 1/1000 = 0,1%

1% = 10%o

 

15%0 = 15/1000 = 0,015

Promilami posługujemy się wówczas, gdy omawiamy bardzo małe części jakiejś większej całości,
na przykład zawartość alkoholu we krwi, próby złota, srebra.

 

Zmiana promili na liczbę:

125%o = 125/1000 = 1/8 = 0,125

 

Zmiana liczby na promile

1/8 * 1000%_o = 1000/8 = 125%_o

 

Obliczanie promila danej liczby

 Zadanie: obliczyć 15‰  liczby 600.

15/1000 * 600 = 9

 

Zamiana promili na procenty (pomniejszamy promile 10 razy)

50%o = 50/10 % = 5%

 

Zamiana procentów na promile (powiększamy procent 10 razy)

20% = 20*10 %o = 200%o