Matematyka
– kompendium szóstoklasisty
Spis treści
Systemy liczbowe: dziesiątkowy, rzymski
Liczby naturalne
Oś liczbowa
Porównywanie liczb
Zadania tekstowe
Ułamki zwykłe rozszerzanie
ułamków, skracanie ułamków , NWD
Porównywanie ułamków Działania na
ułamkach zwykłych
Ułamki dziesiętne Działania na
ułamkach dziesiętnych
Procenty
Działania na liczbach wymiernych
Podstawowe figury geometryczne
Kąty
Symetralna odcinka
Okrąg opisany na trójkącie
Dwusieczna kąta
Trójkąty
Czworokąty
Obwody i pola figur płaskich
Osie symetrii
Wielościany
Dziesiątkowy
– dziesiętny system pozycyjny – cyfry arabskie 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9.
10 jednostek rzędu niższego daje jednostkę rzędu bezpośrednio wyższego:
10 jedności – 1 dziesiątka, 10 dziesiątek – setka 10 setek – tysiąc
10 tysięcy – 1 dziesiątka tysięcy 10 dziesiątek tysięcy – 1 setka tysięcy
10 setek tysięcy – milion
Dziesiętny
system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny (skrót
dec), system arabski) – pozycyjny system
liczbowy,
w którym podstawą pozycji są kolejne wielokrotności liczby 10;
do zapisu liczb
potrzebne jest w nim 10 cyfr, którymi są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Liczby
zapisuje się jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi
liczby stanowiącej podstawę systemu,
niekiedy grupowanych po trzy (Okcydent) lub cztery (część Orientu).
Część
całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny – przecinek dziesiętny
lub kropka dziesiętna
(często w programach komputerowych oraz w krajach anglosaskich).
Przykładowo
zapis „645,7” z separatorem dziesiętnym w postaci przecinka oznacza
Pozycyjny,
dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem
stosowanym niemal we wszystkich krajach.
Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów.
Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości,
gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne.
W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na
system rzymski.
W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie
wyparty na korzyść arabskiego.
|
|
Grupa
milionów |
Grupa
tysięcy |
Grupa
jedności |
|
||||||
|
|
setki |
dziesiątki |
jedności |
setki |
dziesiątki |
jedności |
setki |
dziesiątki |
jedności |
|
|
Liczba |
2 |
3 |
4 |
1 |
7 |
8 |
6 |
4 |
5 |
7 |
|
Potęgi 10 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
234178645 = 7*10^-1 + 5*10^0 + 4*10^1 + 6*10^2 +
8*10^3 + 7*10^4 + 1*10^5 + 4*10^6 + 3*10^7 + 2*10^8
Dwójkowy system liczbowy, system binarny, bin – pozycyjny system
liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2.
Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0
i 1.
Rzymski system zapisywania liczb
zwany też łacińskim – addytywny system liczbowy, w podstawowej wersji używa 7 znaków.
W systemie rzymskim używamy znaków: I, V, X, L, C, D, M
Oznaczenia: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M -1000
Za pomocą tych znaków można zapisać liczby od 1 d0 3999.
Jest to system addytywny, czyli wartość
danej liczby określa się na podstawie sumy wartości znaków cyfrowych.
Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 400 i 900, gdzie stosuje się
odejmowanie.
Zasadą jest by używać jak najmniejszej ilości znaków.
Obok siebie mogą stać najwyżej 3 znaki I, 3 znaki X, 3 znaki C lub 3 znaki M.
Obok siebie nie mogą stać znaki: V, L, D.
Przykłady: zapis miesięcy: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII
4 = 5-1 = IV
6 = 5+1 = VI
9 = 10 -1 =
IX
11 = 10 +1 1
= XI
12 = 12 + 2
= XII
Inne przykłady:
40 = 50-10 =
XL
90 = 100 –
10 = XC
400 = 500 –
100 = CD
900 = 1000
-100 = CM
1815 =
MDCCCXV
1944 =
MCMXLIV
1969 =
MCMLXIX
1950 = MCML
Liczby naturalne
Liczby naturalne N: 0, 1, 2, 3, 4, …
Działania
na liczbach naturalnych
Dodawanie
a + b = c składnik + składnik = suma 2 + 3 = 15
Dodawanie może zawierać dowolną liczbę
składników.
Można zmieniać kolejność składników – przemienność, np. a + b = b + a
Łączność: (a + b) + c = a + (b + c)
Zero w dodawaniu: a + 0 = a
Odejmowanie
a – b = c odjemna – odjemnik = różnica
Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania
a – b = a + (-b) = -b + a
Mnożenie
a * b = c czynnik * czynnik = iloczyn
Przemienność mnożenia: a * b = b * c 3 * 8 = 8 * 3
Mnożenie może zawierać dowolną liczbę czynników
Łączność mnożenia: (a * b) * c = a * (b * c)
1*a = a a*1 = a a*0 = 0
Prawo rozdzielność mnożenia względem
dodawania i odejmowania
(a + b)*c = a * c + b*c (a - b)*c = a * c - b*c
Dzielenie
a : b = c dzielna : dzielnik = iloraz 24:3=8
Dzielenie przez 0 nie istnieje
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia
a:b = c a/b = c c * b = a
Jeżeli dzielna i dzielnik są liczbami zakończone zerami to możemy przed wykonaniem dzielenia skreślić w każdej z tych liczb tyle samo zer.
Np. 35000:700 = 35+7 = 5
Własności dzielenia:
Rozdzielność dzielenia względem
dodawania i odejmowania
(a + b) : c = a:b + c: b (a -
b) : c = a:b - c: b np. (10+6):2 =
10:2 + 6:2 = 8
0:a = 0 a≠0
a:a = 1 a≠0
Dzielenie z resztą , np. 24:9 = 2 r. 6 bo 2*9 + 6 = 24
Potęgowanie
a*a*a … * a = an n- wykładnik potęgi ( liczba czynników mnożenia), a – podstawa potęgi
a0 = 1 dla a ≠ 0
Przykłady: 2*2*2 = 23 = 8; 120 = 1
Kolejność
wykonywania działań:
1. Działania w nawiasach
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie
3. Mnożenie i dzielenie
4. Dodawanie i odejmowanie
Jeżeli w wyrażeniu występuje dzielenie i mnożenie to wykonujemy
działania w kolejności od lewej do prawej.
Analogicznie, jeśli obok siebie występuje dodawanie i odejmowanie.
Oś liczbowa
Oś liczbowa –część prostej podzielonej na równe części, zwane jednostkami, zakończonej strzałką,
(oznaczającą zwrot), z zaznaczonym punktem początkowym (zerowym) O
Porównywanie liczb
Z 2 liczb naturalnych większa jest, która ma
więcej cyfr.
Porównywanie różnicowe –
określamy o ile większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej.
Porównywanie ilorazowe –
określamy ile razy większa lub mniejsza jest jedna liczba od drugiej.
Zadania tekstowe – schemat rozwiązania:
1. Wypisujemy
dane
2. Wypisujemy
szukane
3. Zapisujemy
rozwiązanie – obliczenia
4. Formułujemy
odpowiedź.
5. Sprawdzamy,
czy zadanie rozwiązane poprawnie.
Ułamek właściwy – licznik mniejszy od mianownika
Ułamek niewłaściwy – licznik jest liczbą większą lub taką samą jak mianownik.
Liczba mieszana – złożona z całości i ułamka właściwego.
Rozszerzanie ułamków – mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera.
Ułamek nie zmienia wartości po rozszerzeniu.
Skracanie ułamków – dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Ułamek nie zmienia wartości.
Ułamki, których nie da się już skrócić (uprościć), takie ułamki
nazywamy nieskracalnymi.
Ułamki są nieskracalne, wtedy gdy licznik i mianownik nie mają takich samych
dzielników większych od liczby 1.
O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1, mówimy, że
są względnie pierwsze.
Ułamkiem nieskracalnym nazywamy taki ułamek, którego licznik i
mianownik są liczbami względnie pierwszymi
Największy wspólny
dzielnik : NWD
Do skracania ułamków wykorzystuje się pojęcie największego wspólnego dzielnika NWD.
NWD wykorzystuje się podczas redukcji ułamków do postaci nieskracalnej
(tzn. takiej,
w której licznik i mianownik są względnie pierwsze).
Przykładowo
największym wspólnym dzielnikiem liczb 20
i 30 jest 10, a 45 i 60 jest 15.
NWD (20, 30) = 10, bo 10 jest największą liczbą, przez którą
można podzielić liczby 20 i 30.
NWD (45, 60) = 15
45/60 = 45:15 / 60/15 = ¾
Pierwsza metoda wyznaczenia NWD
20/30 = 20:10 / 30:10 = 2/3
20 |2 30
| 2
10 |2 15
| 3
5 | 5 5 | 5
1 | 1 |
2*5 = 10
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze i zaznaczamy wspólne
dzielniki.
Mnożymy wspólne dzielniki i uzyskujemy największy wspólny dzielnik
Druga metoda obliczenia NWD
NWD(20, 30)
Rozkładamy obie liczby na czynniki, dopóki są one wspólne i
mnożymy wspólne dzielniki
20, 30 |2
10, 15 |5
2, 3
| nie ma teraz wspólnego
dzielnika – koniec obliczeń
2*5=10
NWD(20, 30) = 10
NWD(280, 150)
280, 150 | 2
140, 75 | 5
28, 15 |
NWD(280, 150) = 2*5 =10
NWD (525, 2310)
525, 2310 | 3
175, 770 | 5
35, 154 | 7
5, 22 | - nie ma już dalej wspólnego dzielnika
NWD (525, 2310) = 3*5*7 = 105
Trzecia metoda obliczenia NWD – algorytm Euklidesa
Algorytm Euklidesa jest szybkim sposobem
obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch (zwłaszcza dużych) liczb
całkowitych.
Algorytm
Dzielimy
z resztą liczbę a przez liczbę b
o
jeżeli reszta = 0, to NWD(a, b) = b
o
jeżeli reszta ≠ 0, to przypisujemy
liczbie a wartość liczby b,
liczbie b wartość otrzymanej różnicy, a następnie
wykonujemy ponownie punkt 1.
Przykład NWD
(282, 78)
Rozwiązanie:
Zaczynamy od podzielenia liczby 282 przez liczbę 78 z
resztą:
282 : 78 = 3, reszty 48
Otrzymaliśmy resztę różną od zera, zatem teraz podzielimy liczbę b przez różnicę.
Ten schemat będziemy powtarzać do momentu otrzymania reszty równej 0.
78 : 48 = 1, reszty 30
48 : 30 = 1, reszty 18
30 : 18 = 1, reszty 12
18 : 12 = 1, reszty 6
12 : 6 = 2, reszty 0
Otrzymaliśmy resztę równą zero, zatem szukany NWD będzie równy ostatniej
niezerowej reszcie:
NWD (282, 78) = 6
NWD (20,30)
30:20 =1 r. 10 20:10 = 2, r. 0 NWD (30,
20) = 10 - największa niezerowa reszta
- jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik
- takie same liczniki, to większy jest o mniejszym mianowniku
- jeśli nie mają równych liczników ani mianowników to należy je doprowadzić do wspólnego mianownika lub licznika za pomocą rozszerzania
Skracanie ułamków – podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę
Np.
Rozszerzanie ułamków – pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera
Np.
Ułamki po skróceniu i rozszerzeniu są równe (mają tę samą wartość).
Działania na ułamkach zwykłych
Dodawanie
i odejmowanie
Jeśli mają jednakowe mianowniki to dodajemy lub odejmujemy liczniki, mianownik bez zmian.
Jeśli dodajemy ułamki mieszane to dodajemy całości do całości a ułamki do ułamków.
Jeśli ułamki maja różne mianowniki,
to najpierw należy je sprowadzić do wspólnego mianownika,
a potem dodać liczniki, mianowniki bez zmian.
Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność
Metody obliczenia NWW:
1) Wypisujemy kolejne wielokrotności i wybieramy najmniejszą wspólną.
Np. NWW(12, 15)
- wielokrotności 12: 12, 24, 36, 48, 60
- wielokrotności 15: 15, 30, 45, 60
NWW(12, 15) = 60
2) Druga metoda – razem rozkładamy na czynniki, aż do uzyskania 2 jedynek:
12, 15 | :3 najpierw wspólne czynniki
4,
5 | : 4 potem czynniki kolejno z każdej liczby aż do
uzyskania jedynek
1,
5 | : 5
1, 1
3 * 4 * 5 = 60
3) Metoda – oddzielnie rozkładamy na czynniki
12 | 2 15 | 3 3 wystąpiło w liczbie I, więc nie uwzględniamy do NWW
6 | 2 5 | 5
3 | 3 1
1
Wybieramy wszystkie czynniki z I liczby oraz te z drugiej, które nie występowały w I liczbie.
2*2*3*5 = 60
Mnożenie
ułamków
Ułamki zwykłe - mnożymy licznik przez licznik a mianownik przez mianownik
Liczby mieszane należy zmarnieć na ułamki niewłaściwe
Mnożenie
liczby mieszanej przez liczbę całkowitą
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy
1½ * 5 = 3/2 * 5 = 3*5 /2 = 15/2 = 7 ½
lub
mnożymy część całkowitą ułamka i część ułamkową liczby mieszanej przez
liczbę całkowitą i dodajemy wyniki
1½ * 5 = 1 * 5 + ½ * 5 = 5
+ 5/2 = 5 + 2 ½ = 7 ½
Dzielenie
ułamków
Pierwszy ułamek pozostawiamy bez zmian, znak dzielenia zamieniamy na znak mnożenia, a drugi ułamek odwracamy
2/3 : 5/8 = 2/3 * 8/5 = 2*8 / 3*5 = 16 / 15 = 1 1/15
Liczby mieszane zamieniamy najpierw na ułamki niewłaściwe.
Ułamek dziesiętny to ułamek, w którym zamiast kreski ułamkowej jest przecinek dziesiętny, oddzielający część całkowitą od części ułamkowej.
Ułamki dziesiętne to zapisane za pomocą przecinka ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 itp.
Przykłady:
1/10 = 0,1 3/10 = 0,3 1/100 = 0,01 1/1000 = 0,001 27/10 = 2,7
W ułamku dziesiętnym jest tyle miejsc po przecinku, ile jest zer w mianowniku ułamka zwykłego.
Budowa
ułamka dziesiętnego
61,2345
Całości 61
Części dziesiętne - 2, części setne - 3, części tysięczne – 4, części 10-tysięczne – 5
Zamiana
ułamków zwykłych na dziesiętne
1)
Jeśli to możliwe
rozszerzamy ułamek zwykły tak, aby mianownik był równy 10 lub 100, 1000 itp.
½ = 1*5 / 2*5 = 5/10 = 0,5; 3/25
= 12/100 = 0,12; 2/5 = 4/10 = 0,4 7/8 =
875/1000 = 0,875
2)
Jeśli rozszerzenie nie jest
możliwe (gdy np. mianownik to 3, 7, 11,13 itp.) to kreskę ułamkową zastępujemy
znakiem dzielenia.
Wykonujemy dzielenie sposobem pisemnym.
Działania na ułamkach
dziesiętnych
Dodawanie i odejmowanie sposobem pisemnym – podpisujemy przecinek
pod przecinkiem
Na końcu zawsze można dopisać dowolną liczbę zer i skreślić zera w części
końcowej.
Odejmowanie można zawsze sprawdzić za pomocą dodawania.
Mnożenie ułamków przez 10, 100,
1000 itd. – przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest zer.
Np. mnożenie przez 100 – przesuwamy o 2 miejsca w prawo.
Dzielenie ułamka dziesiętnego
przez 10, 100, 1000 itp. – przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc ile
jest zer w dzielniku.
Np. dzielenie przez 1000 – przesuwamy przecinek o 3 miejsca w lewo.
Mnożenie ułamków sposobem
pisemnym.
Podpisujemy ułamki tak, by ostatnia cyfra jednego ułamka była pod
ostatnia cyfra drugiego ułamka.
Po wykonaniu mnożenia dodajemy liczbę miejsc po przecinku i tyle będzie miejsc po przecinku w wyniku.
Zera końcowe można pominąć przy mnożeniu, jeśli są po przecinku. Jeśli
są w części całkowitej, jako ostatnie cyfry,
można je pominąć przy mnożeniu a dopisać w wyniku.
Dzielenie ułamków dziesiętnych
sposobem pisemnym
Najpierw należy przekształcić dzielnik w liczbę naturalną.
W tym celu należy pomnożyć dzielną i dzielnik przez 10, 100, 1000 itp., by dzielnik nie był ułamkiem.
Nie musimy się tu godzić na dzielenie z resztą, bo stawiając w wyniku
przecinek, można dopisywać zera do reszty
i kontynuować działania do uzyskania wymaganej dokładności wyniku.
Procent = 1/100 całości
1% = 1/100 = 0,01
Zamiana procentu na ułamek – dzielimy procent przez 100
Np. 35% = 35/100 = 7/20
Zamiana ułamka na procent – dzielimy przez 100
Np. 35% = 35:100 = 0,35 12,5% = 12,5:100 = 0,125
Obliczanie procentu z danej liczby – pomnożenie liczby przez procent zapisany w postaci ułamka
Np. 30% ze 120: 30%*120 = 30/100 * 120 = 30*120 / 100 = 36 lub 0,30*120 = 36
Obliczanie liczby z danego jej
procentu
Np. 5%a = 10
Czyli 0,05a = 10 a=10/5% à a = 10/0,05 = 1000/5 = 200
Jakim procentem danej liczby jest druga liczba – dzielimy liczby i mnożymy prze 100%
Promil – 1/1000
Liczby naturalne: 0, 1, 2, 3 …
Liczby całkowite – liczby naturalne i liczby do nich przeciwne – liczby dodatnie i ujemne
Liczby wymierne W– które można zapisać w postaci ułamka zwykłego
Wartość bezwzględna – odległość liczby od zera na osi liczbowej – zawsze dodatnia
|5| = 5, |-5| = 5
|0| = 0
Działania na
liczbach wymiernych
Liczba wymierna – liczba, którą można zapisać w postaci ułamka
zwykłego: w =
Każda liczba całkowita jest równocześnie
liczbą wymierną
Dodawanie
i odejmowanie liczb wymiernych
Dług 5 zł i dług 3 zł to razem dług 8 zł
Dług 8 zł i przychód 3 zł to razem dług 5 zł.
Gdy znaki liczb jednakowe to liczby bez znaków (wartości bezwzględne)
dodajemy
i stawiamy znak liczb.
-5 + (-3) = -(5+3) = -8 lub -5 + (-3) = -5 -3 = -8
5 +3 = 8
Gdy znak liczb różne to odejmujemy wartości bezwzględne liczb (bez znaków)
I przed różnicą dajemy znak o wartości bezwzględnej większej.
-8 + 3 = -(8-3) = -5
3 + (-8) = -(8-3) = -5
3 – 8 = -5
Dodawanie liczb całkowitych jest przemienne i łączne
Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną.
Suma liczb: dodatniej i ujemnej
może być dodatnia lub ujemna.
Znak sumy jest taki jak znak liczby, której wartość bezwzględna jest większa.
Przykłady:
9 + 16 = 25
-9 + (-16) = -(9+16) = -25 lub -9 – 16 = -25
-57 + 13 = -(57-13) = -44
62 + (-9) = + (62 -9) = 53 lub 62 -9 = 53
78 – (-50) = 78+50 = 128
Mnożenie i dzielenie liczb
wymiernych:
(+)*(+) = (+); (-)*(+)=(+) (-)*(-)=(+)
7*5=35
7 * (-5) = -35
(-7)*5 = -35
(-7)*(-5) = 35
Pierwiastek n - tego stopnia
Wyrażenia algebraiczne – liczby i litery połączone znakami działań matematycznych i nawiasami
Jednomian – liczba, litera, iloczyn liczb i liter, np. –x, 1/2x 13abc,
Suma algebraiczna –składa się z jednomianów, np. 2x+5
Redukcja wyrazów podobnych – dodanie lub odjęcie wyrazów różniących się tylko współczynnikiem, np. 2x – 3x + 5 – 2 = -x +3
Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę, np. 2*(3x-5) = 6x -10
Równość – 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości, np. 2x +5 = 10
Nierówność – 2 wyrażenia algebraiczne połączone znakiem nierówności (>, <, >=, <=)
Równania
i nierówności – rozwiązywanie, przenoszenie wyrażeń na druga stronę
Układ współrzędnych xy,
współrzędne punktu – odcięta x, rzędna y.
Ćwiartki: I, II, III, IV.
Funkcja – przyporządkowanie każdemu elementowi z I zbioru dokładnie jednego elementu z II zbioru.
Podstawowe figury geometryczne
Punkt, prosta, półprosta, odcinek.
Dodawanie i odejmowanie odcinków.
Kąt – część płaszczyzny wyznaczone przez 2 półproste.
Kąty wypukłe < 1800 Kąty wklęsłe > 1800i < 3600
Kąty pełne – 3600 Kąty
półpełne 1800
Kąty rozwarte > 900 i < 1800 Katy proste = 900 Kąty
ostre < 900
Kąty przyległe Kąty wierzchołkowe
Kąty odpowiadające Kąty naprzemianległe
Kąty naprzemianległe wewnętrznie
i zewnętrznie, jednostronne wewnętrznie, zewnętrznie
Symetralną
odcinka nazywamy
prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez środek odcinka.
Wniosek
Każdy punkt symetralnej odcinka jest równo
oddalony od
końców odcinka.
Symetralna jest jedną z dwóch osi
symetrii odcinka.
Konstrukcja symetralnej odcinka
oraz wyznaczenie środka odcinka AB
Aby skonstruować cyrklem i linijką symetralną danego odcinka AB należy:
1.
Zakreślić cyrklem dwa okręgi o środkach w punktach A oraz B o
identycznym promieniu większym od połowy długości odcinka AB.
Okręgi te przetną się w dwóch różnych
punktach.
2.
Poprowadzić prostą przez wyznaczone punkty przecięcia okręgów.
Wyznaczona prosta jest szukaną
symetralną.
Powyższa konstrukcja jest również
stosowana do wyznaczenia środka
odcinka
ponieważ punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem jest właśnie tym
środkiem.
W każdym trójkącie symetralne
wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu
opisanego na trójkącie.
Środek
okręgu opisanego na trójkącie, znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków
trójkąta
(symetralna
to prosta dzieląca odcinek na pół i przecinająca go pod kątem prostym).
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku
przeciwprostokątnej.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym
trójkącie.
Dwusieczna kąta – półprosta, o
początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty przystające.
Dwusieczna jest zbiorem punktów
równo odległych od ramion kąta i zawarta jest w jego osi
symetrii.
Konstrukcja
dwusiecznej kąta AOB
Aby narysować dwusieczną, należy:
1. Z wierzchołka O danego kąta dowolnym promieniem
zakreślić łuk, który przetnie ramiona kąta w punktach A, B
2. Z punktów A i B o tym samym co poprzednio promieniu (lub
innym jednakowym)
zakreślić łuki, które przetną się w punkcie C
3. Półprosta OC jest dwusieczną
Definicja dwusiecznej:
Zbiór punktów płaszczyzny/przestrzeni leżących
w równej odległości od ramion kąta płaskiego / ścian kąta dwuściennego.
Własności:
·
Dwusieczna
kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca
przez wierzchołek kąta
(dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające
(stąd nazwa: dwu-sieczna =
krojąca na połowy).
·
Dwusieczna
jest jedyną osią symetrii kąta.
·
W
każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w
jednym punkcie
- w środku okręgu wpisanego w trójkąt.
Twierdzenie o dwusiecznej -
dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok
proporcjonalnie do długości pozostałych boków.
Dowód. Stosunek
pól trójkątów o równej wysokości jest równy stosunkowi długości ich podstaw,
na które tę wysokość opuszczono.
P2/P1 = c2*h/ c1*h = c2*h * h/c1 = c2/c1
= b/a
Różnoboczne - różne boki
Równoramienne – obliczanie kąta miedzy ramionami lub kątów przy podstawie
Równoboczne – równe boki i kąty
Ostrokątne – kąty mniejsze od 90 stopni
rozwartokątne – jeden kąt rozwarty
prostokątne – jeden kąt prosty
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t
A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty
Trójkąty można dzielić ze
względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.
Podział trójkątów ze
względu na boki:
Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok
Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek
trójkąta i środek przeciwległego boku.
Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem geometrycznym (barycentrum,
lub błędnie środkiem masy lub środkiem ciężkości) trójkąta. Punkt
ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części,
przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od
odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.
Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego
boku i przechodząca przez jego środek.
Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym
środkiem okręgu
opisanego na tym trójkącie.
Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który
jest środkiem okręgu
wpisanego w ten trójkąt.
Trójkąt różnoboczny
Trójkąt, którego każdy bok jest innej długości, to
trójkąt różnoboczny.
Suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od
długości trzeciego boku.
|AB| < |AC| + |BC|,
|AC| < |AB| + |BC|,
|BC| < |AB| + |AC|.
Trójkąt równoramienny
Trójkąt, którego dwa boki są równej długości nazywamy
trójkątem równoramiennym.
|AC| = |CB α = β.
Boki
równe nazywamy ramionami, trzeci bok nazywamy podstawą.
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę. α =
β.
Trójkąt równoramienny posiada co najmniej jedną oś symetrii przecinającą
podstawę w połowie długości
oraz przechodzącą przez wierzchołek kąta łączącego ramiona.
W trójkącie równoramiennym dwie wysokości są równe.
Trzecia wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części, a
półprosta, w której leży ta wysokość,
dzieli kąt między ramionami trójkąta na dwa kąty o równych miarach.
Trójkąt równoboczny
Trójkąt, który ma wszystkie boki równej
długości nazywamy trójkątem równobocznym.
Trójkąt równoboczny to szczególny
trójkąt, który posiada takie oto własności:
- wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°,
- wysokość trójkąta równobocznego h=a3 √ 2
- wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty
prostokątne,
- wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków
tego trójkąta,
- wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1:2,
- punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz
środkiem okręgu opisanego na trójkącie,
- promień okręgu wpisanego w trójkąt r=1/3 *h lub
r=
a*√3 / 6
- promień okręgu opisanego na trójkącie R=2/3
h lub R=a3 √ 3,
- pole trójkąta P=1/2 a*h lub
P=a2
* √ 4.
Podstawowe wzory dotyczące trójkąta:
Obwód: Obw = a + b + c
Pole: P = ½ a*h
różnoboczne,
trapezy,
równoległoboki,
prostokąty,
romby,
kwadraty,
deltoidy
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach
wewnętrznych.
Czworokąt to płaszczyzna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z
czterech odcinków.
punkty A, B, C, D, to wierzchołki czworokąta,
odcinki AB, BC, CD, DA to boki czworokąta,
kąty α, β, γ, δ to kąty wewnętrzne czworokąta.
Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta jest równa 360°.
α + β + γ + δ = 360°.
Czworokąt jest figurą wypukłą wtedy i tylko wtedy,
gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są kątami wypukłymi.
Czworokąt jest figurą wklęsłą wówczas, gdy jeden z
jego kątów wewnętrznych jest kątem wklęsłym.
Prostokąt
Prostokątem
nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Ob = 2a + 2b - obwód
P = a · b - pole
Własności prostokąta
- przeciwległe boki są równe i równoległe,
- sąsiednie boki są prostopadłe,
- każdy z kątów jest kątem prostym,
- przekątne są równe i dzielą się na połowy,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie,
- przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie
boki i kąty równe.
Własności
kwadratu
-
wszystkie boki są równe,
- przeciwległe boki są równoległe,
- wszystkie kąty są proste,
- przekątne są równej długości,
- przekątne dzielą się na połowę pod kątem prostym,
- przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów kwadratu,
- przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne,
- punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu,
- punkt przecięcia przekątnych wyznacza środek okręgu wpisanego i opisanego na
kwadracie.
Okrąg wpisany w kwadrat
Równoległobok
Równoległobokiem
nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Równoległobok
jest szczególnym przypadkiem trapezu równoramiennego - o dwóch parach boków
równoległych.
Ob = 2a
+ 2b
P = a ·
h = a · b · sinα
P=
½ * d1 * d2 ⋅sinγ
Własności równoległoboku:
- przeciwległe boki są
równoległe,
- przeciwległe boki są tej samej długości,
- przekątne dzielą się na połowy,
- przeciwległe kąty są równe,
- suma dwóch sąsiednich kątów równa jest 180°,
- przekątne dzielą się na połowy i wyznaczają punkt, będący środkiem ciężkości
równoległoboku
- przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty
- na równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie możne opisać okręgu i nie
można też w niego wpisać okrąg.
Romb
Rombem
nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Jest to szczególny przypadek równoległoboku.
Ob = 4a
P = a · h = a2 · sinα
P= ½ * d 1*⋅d 2
Własności rombu
- wszystkie boki są równe,
- przeciwległe boki są równoległe,
- suma miar dwóch kątów sąsiednich wynosi 180°,
- przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów,
- przekątne rombu dzielą się na połowy pod kątem prostym,
- punkt przecięcia przekątnych rombu wyznacza środek okręgu wpisanego w romb,
- przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne,
- punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii rombu.
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma
przynajmniej jedną parę boków równoległych.
a - podstawa dolna trapezu
b - podstawa górna trapezu
c, d - ramiona trapezu,
h - wysokość trapezu
Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180°.
α + δ = 180°,
β + γ = 180°.
Obwód
trapezu: Ob = a + b + c + d
Pole trapezu: P =
½ * (a+b) *h
Trapez równoramienny – ma równe ramiona
Kąty
przy tej samej podstawie trapezu równoramiennego mają równe miary.
α + β = 180⁰
Przekątne p w trapezie równoramiennym mają równe długości.
Trapez równoramienny posiada oś symetrii będącą symetralną jednej z podstaw.
Trapez,
którego jedno ramię tworzy kąty proste z podstawami, nazywa się trapezem
prostokątnym.
W
trapezie prostokątnym ramię prostopadłe d
jest wysokością trapezu h.
Deltoid
Deltoidem
nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych,
w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.
Ob = 2a + 2b
P= ½ * d1 ⋅d2
P = a · b · sinα
Własności
deltoidu
- kolejne boki są
równe,
- kąty między różnymi bokami są równe,
- przekątne są prostopadłe,
- przekątna d2 dzieli deltoid na dwa trójkąty równoramienne
Sześciokąt foremny
Okrąg opisany na czworokącie
i okrąg wpisany
|
Figura |
Oznaczenia |
Obwód L |
Pole |
|
|
Trójkąt |
a, b, c – boki ha, hb, hc – wysokości z boków a, b, c α, β, γ –kąty naprzeciw a, b, c α+ β+ γ = 1800 |
L = a+b+c Jeśli trójkąt równoramienny to L = a + 2b W trójkącie równobocznym L = 3a |
P = ½ *a* ha, P = ½ *b*hb P = ½*c*hc
P = ½*a*b*sin γ P = ½*b*c*sin α P = ½*a*c*sin β P =√p(p-1)*(p-b)*(p-c), P = abc/(4R) = rp P=2*R2
*sinα*sin β sin γ |
R = R = abc/( 4P) r = r = |
|
Kwadrat |
a - bok |
L = 4a |
P = a2 |
R = ½ *a *
√2 R = ½ * a |
|
Prostokat |
a, b - boki |
L = 2a + 2b L = 2*(a+b) |
P = a*b |
D = R = d/2 R = r – nieokreślone okręgu nie można wpisać |
|
Równoległobok |
a, b – boki ha, - wysokość opuszczona na a hb – wysokość opuszczona na b |
L = 2a + 2b L = 2*(a+b) |
P = a*ha P=b*hb |
|
|
Romb |
a – bok e, f – przekątne rombu |
L = 4a |
P = a*h P = ½ * e*f |
r = ½ * h r = ½ a * sin
α R – nieokreślone |
|
Trapez |
a, b – podstawy c, d - ramiona |
L = a+b+ c+d |
P = ½ * (a+b)*h h – wysokość trapezu |
|
|
Deltoid – przekątne prostopadłe |
a, b – boki e, f - przekątne |
L = 2a + 2b |
P = ½ * e * f |
|
|
Koło |
r – promień d - średnica |
L = 2π*r L = π*d |
P = π*r2 P = π*d2 /4 |
|
|
Wycinek kołowy |
r – promień koła α – kąt środkowy, na którym oparty jest łuk |
L = L = L = |
Pw = L = |
|
Wielokąty foremne: trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny …
Wielokąt foremny
Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości i wszystkie kąty równe.
Kąt środkowy (pomiędzy promieniami okręgu opisaneg0) wielokąta
foremnego
αs =
3600 /n , gdzie n – ilość boków (kątów) wielokata.
Kąt wewnętrzny ( kąt między sąsiednimi bokami)
αw =
1800 - αs =
1800 *(n-2) / n
Suma kątów wewnętrznych wielokąta zamkniętego: S αw = (n-1)* 1800
Ilość przekątnych dowolnego n - kąta: n*(n-3)/2
|
Figura |
Rysunek |
Promień okręgu opisanego R |
Promień okręgu wpisanego r |
Pole S |
Kąt wewnętrzny |
|
Trójkąt równoboczny |
|
h = R = 2/3 * h |
r = 1/3 * h R + r = h |
P = P = |
600 Kąt środkowy = 360/n = 1200 |
|
Kwadrat |
|
R = ½ *d |
r = ½ a |
P = a2 |
900 |
|
Sześciokąt foremny |
|
R = a |
r = |
P = |
1200 |
Symetria osiowa
Symetrią osiową względem prostej k nazywamy przekształcenie
płaszczyzny, w którym każdemu punktowi A przyporządkowany jest punkt A',
leżący na prostej prostopadłej do tej prostej k przechodzącej przez
punkt A w tej samej odległości od k co punkt A, ale po
drugiej stronie prostej k.
Prostą k nazywamy osią symetrii.
Symetrię osiową względem prostej k nazywamy
również odbiciem symetrycznym względem prostej k lub symetrią względem
prostej k.
Każdy punkt prostej k jest punktem stałym symetrii
Symetria środkowa
Symetrią
środkową względem punktu O zwanego środkiem symetrii nazywamy
przekształcenie płaszczyzny, w którym punkt O jest stały,
a każdemu innemu punktowi A przyporządkowuje punkt A' taki, że
punkt O jest środkiem odcinka AA'.
Symetrię środkową o środku O nazywamy również odbiciem symetrycznym
względem punktu O lub symetrią względem punktu O.
Punkt O jest punktem stałym symetrii środkowej.
Figura f ma środek symetrii S, jeżeli
punkty symetryczne względem S do punktów figury f też należą do f.
Punkt S nazywamy środkiem symetrii figury f.
Oś symetrii figury
Oś symetrii
figury jest prostą, względem której figura ta jest do siebie symetryczna
osiowo. Oś symetrii dzieli figurę na 2 części przystające.
Figura f ma oś symetrii k, jeżeli punkty symetryczne względem k
do punktów figury f też należą do f. Prostą k
nazywamy osią symetrii figury f.
Figurę, która posiada co najmniej jedną
oś symetrii nazywamy osiowosymetryczną.
Figury z jedną osią symetrii
Figury z 2 osiami symetrii
Figury z 3 osiami symetrii
Osie
symetrii wśród wielokątów:
trójkąt
równoramienny - 1 oś symetrii,
trójkąt równoboczny - 3 osie symetrii,
kwadrat - 4 osie symetrii,
prostokąt - 2 osie symetrii,
romb - 2 osie symetrii,
równoległobok - nie posiada osi symetrii
trapez równoramienny - 1 oś symetrii,
deltoid - 1 oś symetrii.
Figury z nieskończoną ilością osi
symetrii: okrąg, koło.
Wielościanem wypukłym nazywamy każdą bryłę wypukłą, której brzeg jest sumą
mnogościową skończonej liczby wielokątów.
Ścianą wielościanu wypukłego nazywamy taki wielokąt, który
jest częścią wspólną płaszczyzny i brzegu wielościanu.
Krawędzią wielościanu nazywamy bok jego ściany.
Wierzchołkiem wielościanu nazywamy wierzchołek jego
ściany.
Twierdzenie Eulera
Jeżeli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s
ścian, to
w - k + s = 2
Pole powierzchni wielościanu równe jest sumie pól
wszystkich jego ścian.
Wielościany foremne
Wielościanem
foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi
wielokątami foremnymi
i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.
Wielościany foremne: czworościan,
sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan
Czworościan (tetraedr)
Ma 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.
Sześcian (heksaedr)
Ma 6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.
Graniastosłupy
Graniastosłup
to wielościan, którego dwie ściany (zwane podstawami) są przystającymi
wielokątami
leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany są równoległobokami.
Ściany
zawarte w płaszczyznach podstaw nazywamy podstawami graniastosłupa.
Pozostałe
ściany są równoległobokami i nazywamy je ścianami bocznymi graniastosłupa.
Graniastosłup,
którego podstawą jest n-kąt, nazywamy
graniastosłupem n-kątnym.
Wysokość graniastosłupa to odcinek zawarty w prostej
prostopadłej do jego podstaw,
którego końcami są punkty wspólne tej prostej z płaszczyznami zawierającymi
podstawy graniastosłupa.
Przekątną graniastosłupa nazywamy każdy odcinek, którego końcami
są wierzchołki obu podstaw graniastosłupa
i który nie zawiera się w żadnej ze ścian graniastosłupa.
Wśród graniastosłupów wyróżniamy graniastosłupy proste
i pochyłe
Graniastosłup prosty to figura
przestrzenna, której podstawy są przystającymi wielokątami,
a wszystkie ściany boczne są prostokątami.
Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są
prostopadłe do podstaw.
Graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami
foremnymi nazywamy graniastosłupem prawidłowym.
W graniastosłupie prawidłowym ściany boczne
są figurami przystającymi.
Jeżeli
graniastosłup ma w podstawie wielokąt o n-kątach to:
- liczba ścian s = n+2
- liczba wierzchołków w = 2n
- liczba krawędzi k= 3n
Prostopadłościan –
graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami
H = c – wysokość
P = 2Pp + Pb
P = 2ab
+ 2bc + 2bH
V =
a*b*H
W podstawie: prostokąt o wymiarach a * b
Liczba ścian 6
Liczba wierzchołków 8
Liczba krawędzi 12
Sześcian
– graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami
Szczególny przypadek prostopadłościanu.
Siatka sześcianu
W podstawie: kwadrat a x a
Liczba ścian: 6
Liczba wierzchołków: 8
Liczba krawędzi: 12
Graniastosłup
trójkątny
Graniastosłup prawidłowy trójkątny – w podstawie ma trójkąt równoboczny
Siatka
Ostrosłup
Ostrosłupem
nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa,
jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, nazywane ścianami bocznymi
ostrosłupa,
są trójkątami o wspólnym wierzchołku
Wspólny wierzchołek ścian bocznych ostrosłupa
nazywamy wierzchołkiem
ostrosłupa.
Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy nazywamy spodkiem wysokości ostrosłupa.
Wysokością ostrosłupa nazywamy
odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa ze spodkiem wysokości ostrosłupa.
Ostrosłup, którego podstawa jest n-kątem
nazywamy ostrosłupem n-kątnym.
Sumę wszystkich ścian bocznych ostrosłupa nazywamy powierzchnią boczną graniastosłupa.
Sumę powierzchni bocznej i
podstawy ostrosłupa nazywamy powierzchnią
całkowitą ostrosłupa.
Pole powierzchni całkowitej
ostrosłupa o polu podstawy Pp i
polu powierzchni bocznej Pb jest równe:
Pc =
Pp + Pb
Objętość ostrosłupa o polu
podstawy Pp i wysokości h jest równa
V= 1/3 * Pp
* H
