Funkcje trygonometryczne

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30^o, 45^o, 60^o

Kąt α [o]	30o	45o	60o
sin α	½	√2 / 2	√3 / 2
cos α	√3 / 2	√2 / 2	½
tg α	√3  / 3	1	√3
ctg α	√3	1	√3 / 3

 

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

 

sin² α + cos² α = 1  (jedynka trygonometryczna)             

1/tg α = ctg α                   sin α / cos α = tg α          cos α / sin α = ctg α

sin α = cos (90^o – α)       cos α = sin (90^o – α)       tg α = 1 / (tg 90^o – α)      tg α = sin α / cos α         

sin (180^o – α ) = sin α     cos (180^o – α) = -cos α   tg (180^o – α) = -tg α        ctg (180^o – α) = -ctg α

 

sin α = √(1 – cos² α)                       =  tg α / (√(1 + tg² α)                      =  1/ (√(1 +ctg² α) 

cos α = √(1 – sin² α)                       =  1 / (√(1 + tg² α)                           =  ctg/ (√(1 +ctg² α) 

tg α = sin α / √(1 – sin² α)           =  √(1 – sin² α)  / cos α                  =  1 / ctg  α)   

ctg α = √(1 – sin² α)/ sin α          = cos α / √(1 – cos² α)                   =  1 / tg  α)   

 

sin (α + 360^o) = sin α      cos (α + 360^o) = cos (α + 360^o)   tg (α + 360^o) = tg α          ctg (α + 360^o) = ctg α

sin(-α) = -sin α                 cos (-α) = cos α                                tg(-α) = -tg α                     ctg (-α) = -ctg α

Funkcje trygonometryczne kątów 30⁰, 45⁰, 60⁰ – wartości na wykresach

Funkcje sinus i cosinus kątów 30o i 60o - bezpośrednio  z wykresu sin 30o = ½ : 1 = ½ cos 30o =  √3/2 sin 60o = √3/2 cos 60o = ½ : 1 = ½ Funkcje tangens i cotangens  kątów  30o i 60o – z obliczeń tg 30o = ½ : √3/2 = 1/√3 = √3/3 ctg 30o =√3/2 : ½ = √3 tg 60o = √3/2 : ½ = √3 ctg 60o = ½ : √3/2 = 1/√3 = √3/3

 

 

 

 

 

 

 

Wartości funkcji tg 30o  i  ctg 60o  - bezpośrednio z wykresu tg 30o =  √3/3/1 = √3/3 ctg 60o = √3/3/1 = √3/3

Wartości funkcji tg 60o  i  ctg 30o  - bezpośrednio z wykresu tg 60o  = √3/1  =  √3 ctg 30o =  √3/1 =  √3/3

Wartości funkcji tangens i cotangens kąta  45o - bezpośrednio z wykresu tg 45o  = 1/1  =  1  ctg 45o =  1/1 =  1 sin 45o = 1/√2 = √2/2   cos 45o = 1/√2 = √2/2

Wartości funkcji sinus i cosinus kąta  45o - bezpośrednio z wykresu sin 45o  = 1/√2  =  √2 /2 ctg 45o =  1/√2  =  √2 /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przeliczenie wartości funkcji trygonometrycznych kąta 0-90^o
– podana wartość jednej funkcji, obliczenie pozostałych

Dany  sin α, obliczenie pozostałych funkcji trygonometrycznych cos α = √(1-sin2α)        tg α = sinα/cosα  = sinα/√(1-sin2α) ctg α = cosα/sinα  = √(1-sin2α) /sinα

Dany  cos α, obliczenie pozostałych funkcji trygonom. sin α = √(1-cos2α)           tg α = sinα/cosα  = √(1-cos2α) / cosα ctg α = cosα/sinα  = cosα / √(1-cos2α)

Dany  tg α, obliczenie pozostałych funkcji trygonometrycznych sin α = tgα /√(1+tg2α) cos α = 1/√(1+tg2α) ctg α = 1 / tgα

Dany  ctg α, obliczenie pozostałych funkcji trygonometrycznych tg α = 1 / ctgα sin α = 1/√(1+ctg2α) cos α = ctgα / √(1+ctg2α)

 

 

Dana wartość jednej funkcji w postaci ilorazu  lub jednej liczby – zastąpienie ilorazem liczby przez 1

 

Znaki funkcji trygonometrycznych

Ćwiartka układu	sin α	cos α	tg α	ctg α
I    (0 o - 90o)	+	+	+	+
II   (90 o -180o)	+	-	-	-
III  (180o -270o)	-	-	+	+
IV  (270o -360o)	-	+	-	-

 

Wierszyk dotyczący znaków funkcji trygonometrycznych:
W pierwszej       wszystkie są dodatnie
w drugiej             tylko sinus
w trzeciej             tangens i cotangens
a w czwartej       cosinus

 

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wielokrotności kata 90^o

	0o	90o	180o	270o	360o
sin α	0	1	0	-1	0
cos α	1	0	-1	0	1
tg α	0	-    (∞)	0	-     (∞)	0
ctg α	-    (∞)	0	-    (∞)	0	-    (∞)

 

Wzory redukcyjne

φ	90o - α	90 + α	180 - α	180  + α	270 - α	270 + α	360 - α
sin φ	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α
cos φ	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α
tg φ	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α
ctg φ	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α

 

Wzory trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β

cos (α + β) = cos α *cos β – sinα * sin β

tg (α + β) = (tg α + tgβ) / (1 – tgα * tgβ)

ctg (α + β) = ( ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β)

sin (α - β) = sin α * cos β – cos α * sin β

cos (α - β) = cos α * cos β + sin α * sin β

tg (α - β) = (tg α – tg β) / (1 + tg α * tg β)

ctg(α-β) = (ctg α * ctgβ - 1) / (ctg β – ctg α)

 

Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego

sin2α = 2* sin α * cosα

cos2α = cos²α - sin²α

tg2α = 2* tgα / (1 - tg²α)

ctg2α = (ctg²α -1/(2*ctgα)

 

Funkcje trygonometryczne połowy kąta

sin(α/2) = √((1-cosα)/2)

cos(α/2) = √((1+cosα)/2)

(bierzemy znak + lub - w zależności
od tego, do której ćwiartki należy α/2)

tg(α/2) = (1-cosα)/sinα

ctg(α/2) = (1+cosα)/sinα

 

Sumy funkcji trygonometrycznych

sinα+sinβ = 2 * sin((α+β)/2) * cos(α-β)/2)

cosα+cosβ = 2*cos((α+β)/2) * cos(α-β)/2)

tgα+tgβ = sin(α+β) / (cosα*cosβ)

ctgα+ctgβ = sin(α+β) / (sinα*sinβ)

 

Różnice funkcji trygonometrycznych

sinα - sinβ = 2 * sin((α-β)/2) * cos(α+β)/2)

cosα - cosβ = -2*sin((α-β)/2) * sin(α+β)/2)

tgα - tgβ = sin(α-β) / (cosα*cosβ)

ctgα - ctgβ = sin(β-α) / (sinα*sinβ)

 

Parzystość i nieparzystość funkcji

cos(-x) = cos(x)                                sin(-x) = -sin(x)

tg(-x) = -tg(x)                    ctg(-x) = -ct(x)

 

 

Miara łukowa

– długość łuku wyciętego przez kąt o promieniu 1  i środku w wierzchołku kąta

 

Wykresy funkcji trygonometrycznych: sin(x), cos(x), tg(x), cos(x)

Sinusoida

Dziedzina :                         D_f = R                    

Zbiór wartości:                 Y_f = [-1; 1]          

Miejsca zerowe:              f(x) = 0  dla  x = k* π,  k ∈ C

Funkcja nieparzysta:      cos(-x) = cos(x)

Funkcja  okresowa o okresie  T=2π = 360^o

Funkcja rośnie w przedziałach (-π/2 + 2kπ,  3/2*π + 2kπ), k ∈ C

 

 

 

Cosinusoida

Dziedzina :                         D_f = R                   

Zbiór wartości: Y_f = [-1; 1]          

Miejsca zerowe:              f(x) = 0  dla  x = π/2 +  k* π,  k ∈ C

Funkcja parzysta:            cos(-x) = cos(x)

Funkcja  okresowa o okresie  T=2π = 360^o

Funkcja rośnie w przedziałach (π + 2k π, 2π + 2kπ), k ∈ C

 

 

 

 

Tangensoida

Dziedzina :                         D_f = R     \ {x:   x = π/2 +  k* π,  k ∈ C}

Zbiór wartości: R

Miejsca zerowe:              f(x) = 0  dla  x =  k* π,  k ∈ C

Funkcja nieparzysta:      tg(-x) = -tg(x)

Funkcja  okresowa o okresie  T = π = 180^o

Funkcja rośnie przedziałami w (-π/2 + kπ, π/2 +kπ)  k ∈ C

 

 

 

 

Cotangensoida

Dziedzina :                         Df = R    \ {x:   x =  k* π,  k ∈ C}

Zbiór wartości: R

Miejsca zerowe:              f(x) = 0  dla  x = π/2 + k* π,  k ∈ C

Funkcja nieparzysta:      ctg(-x) = -ctg(x)

Funkcja  okresowa o okresie  T = π = 180^o

Funkcja maleje przedziałami w (kπ, π+kπ)  k ∈ C

 

 

 

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

 

Pole trójkąta gdy dane 2 boki i kąt między nimi

 

Funkcje trygonometryczne dowolnego kata

Obliczenie długości łuku

Ł/(2 πr) = α^o/360^o

Ł = πrα/180^o = α^o / (180/π) * r  = α^ł  * r

 

Miara łukowa kąta

 α^o / 360º = α^ł /(2* π)             α^o – kąt w stopniach,   α^ł – kat w mierze łukowej   

α^o / 180º = α^ł / π

α^o  =  α^ł * (180º / π) = α^ł * ρ^o    =~  α^ł  * 57,29577951^o 
ρ^o   = 180º / π =~ 57,29577951^o  =~ 57^o 17’ 44,81”  - radian

α^ł  = α^o * (π/180º) = α^o / ρ^o  = α^o / 57,29577951^o 

Radian – miara kata środkowego opartego na łuku równym promieniowi r okręgu

rad – symbol radiana

1 rad = 180º / π =~ 57^o 17’ 44,81”

1^o =  π / 180º

2π [rad] =  360º         π  [rad] =  180º          π/2  [rad] =  90º         π/3  [rad] =  60º

π/4  [rad] =  45º         π/6  [rad] =  30º        

 

Kąt jako miara obrotu

Jeśli określimy kolejność ramion kąta α, czyli wyróżnimy ramię początkowe i końcowe,
to kąt taki nazywamy skierowanym.
Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką.

Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara nazywamy kątem skierowanym dodatnio.

Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara
jest kątem skierowanym ujemnie.

 

Miarę każdego kąta skierowanego można przedstawić w postaci:

k*360⁰ + α,  gdzie   0⁰ <=  α  < 360⁰  k jest pewną ustaloną liczbą całkowitą

k*2π + α,  gdzie   0 <=  α  < 2π  czyli α ∈  < 0;  2π)  i k jest ustaloną liczbą całkowitą

Miara α  jest nazywana miarą główną kąta skierowanego.

 

Jeżeli ramiona kątów skierowanych się pokrywają, to ich miary główne są równe.

Kąty przeciwne to kąty, których miary są liczbami przeciwnymi.

Kąty w ćwiartkach układu współrzędnych

 

Ćwiartka	I	II	III	IV
Kąt w stopniach	0o  < α < 90o	90o  < α < 180o	180o  < α < 270o	270o  < α < 360o
Kąt w radianach	0 < α <  π/2	π/2  < α  <  π	π  <  α  < 3/2 *π	3/2*π  < α < 2 *π
Kąt w gradach	0g  < α < 100g	100g  < α < 200g	200g  < α  < 300g	300g  < α  < 400g

 

 

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

sin α = y/r          

cos α = x/r         

tg α = y/x                            x ≠ 0

ctg α = x/y                          y ≠ 0

ctg α  = 1/ (y/x) = 1/tg α                              x ≠ 0,   y ≠ 0

 

 

Wyznaczenie współrzędnych punktu i narysowanie końcowego ramienia kata

Jeśli punkt P leży na końcowym  ramieniu kata α i jego promień wodzący jest równy 1 to
P = (1*cos α, 1*sin α) = (cos α, sin α)

Wyznaczenie punktu P i kąta α, gdy dany jest kąt α.
- nanosimy wartości współrzędnych punktu P: x_P = cos α oraz y_P = sin α i kreślimy ramię kąta OP

 

α = 30^o

cos α = √3/2 ~= 0,8660 = x_P

sin α = 1/2  = y_p

 

Wyznaczenie ramienia kąta α, gdy dany jest tg α

tg α = y/x =  t/1 = 2t/2 = 3t/3 itd.

Przyjmujemy za współrzędne punktu P wartości (t, 1) lub (2t, 2) itp.
Wyznaczamy punkty na podstawie współrzędnych i rysujemy ramię kata OP

 

Przykład: dany tg α = 4

tg α = -4 = y/x = -4/1 = -1/4
Przyjmujemy P1 = A =  (1, -4)   lub  P2 = B = (-1, 4)

α = 104,04^o  lub α = 284.04^o

Gdy dany jest tg α w postaci a/b to można przyjąć za x wartość b, a za y wartość a
lub ich wielokrotności.

 

Dany cos α

 

Przykład: cos α = -2/3

 

 

 

Dany sin α

Przykład: sin α = -1/3

 

sin α = -1/3 = y/r

y/r = -1/3 = -2/6 …

Przyjmujemy: y = -1, r = 3

α1 = 160.53^o       α2 = 340,52^o

 

Wartości funkcji trygonometrycznych wielokrotności kata π/2

	0o	90o = π/2	180o=π	270o=3/2*π	3600=2
sin α	0	1	0	-1	0
cos α	1	0	-1	0	1
tg α	0	∞ (nie istnieje)	0	∞ (nie istnieje)	0
ctg α = 1/tg α	∞ (nie istnieje)	0	∞ (nie istnieje)	0	∞ (nie istnieje)

 

Znaki wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta

 

Punkt P = (x, y) leży w ćwiartce:

I              gdy x >0 i y > 0                  sin α > 0, cos α > 0, tg α > 0, ctg α > 0

II             gdy x < 0 i  y > 0                                sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0

III            gdy x < 0 i y > 0                 sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0

IV           gdy x > 0 i y < 0                 sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0, ctg α < 0

 

Parzystość funkcji trygonometrycznych

Funkcje nieparzyste: sinus, tangens i cotangens

Funkcja parzysta: cosinus

sin (-α) = -sin α

cos (-α) = cos α

tg (-α) = -tg α

ctg (-α) = -ctg α

 

Wzory redukcyjne

 

sin (180^o – α) = sin α                      sin (π – α) = sin α            II ćwiartka

cos (180^o – α) = -cos α                  cos (π – α) = -sin α

tg (180^o – α) = -tg α                        tg (π – α) = - sin α

ctg (180^o – α) = -ctg α                    ctg (π – α) = tg α

 

sin (180^o + α) = -sin α                    180⁰ = π              III ćwiartka

cos (180^o + α) = -cos α

tg (180^o + α) = tg α

ctg (180^o + α) = ctg α

 

sin (360^o - α) = -sin α                     π  = 180⁰                IV ćwiartka

cos (360^o - α) = cos α                    

tg (360^o - α) = -tg α

ctg (360^o - α) = -ctg α

 

sin (90^o - α) = cos α                        90⁰  = π/2             

cos (90^o - α) = sin α                       

tg (90^o - α) = ctg α = 1/ (tg α)

ctg (90^o - α) = tg α

 

Analogicznie dla funkcji 90º + α oraz 270⁰ +- α funkcje zmieniają się w kofunkcje (sin àcos, tg àctg)

 

W osi x (0, 180, 360) we wzorach redukcyjnych funkcje się nie zmieniają w kofunkcje, a ewentualnie zmieniają się znaki, w zależności od ćwiartek.

W osy y (90⁰, 270⁰) we wzorach redukcyjnych funkcje zmieniają się w kofunkcje, z uwzględnieniem znaków w zależności od ćwiartki układu współrzędnych.

 

Okresowość funkcji trygonometrycznych

 

sin (k*360^o + α) = sin α                 cos (k*360^o + α) = cos α                               k ∈ C

tg (k*180^o + α) = tg α                     ctg (k*180^o + α) = ctg α                

sin (k*2π + α) = sin α                     cos (k*2π + α) = cos α                  

tg (k*π + α) = tg α                          ctg (k*π + α) = ctg α      

 

Liczbę 360^o = 2π dla funkcji sinus i cosinus nazywa się okresem podstawowym tych funkcji.

Liczbę 180^o = π dla funkcji tangens i cotangens nazywa się okresem podstawowym tych funkcji.

Okres podstawowy funkcji – najmniejsza dodatnia liczba, która dodana do (odjęta od) argumentu funkcji nie zmienia jej wartości, np. sin 1000^o = sin 640^o = sin 280⁰ = sin (-80⁰)

 

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

 

sin² α + cos² α = 1           - jedynka trygonometryczna

tg α = sin α / cos α,        gdy cos α ≠ 0

ctg α = 1/(tg α = (cos α) / (sin α) ,            gdy sin α ≠ 0

 

Tożsamość trygonometryczna – każde równanie wyrażające zależności między funkcjami trygonometrycznymi zachodzące dla wszystkich katów, dla których wartości tych funkcji istnieją.

 

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

 

sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β

cos (α + β) = cos α * cos β – sinα * sin β

sin (α - β) = sin α * cos β – cosα * sin β

cos (α - β) = cos α * cos β + sinα * sin β

 

tg (α + β) = (tg α + tg β) / (1 – tg α * tg β)

ctg (α + β) = (ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β)

tg (α - β) = (tg α – tg β) / (1 + tg α * tg β)

ctg (α - β) = (ctg α * ctg β - 1) / (ctg β – ctg α)

 

cos 2 α = cos² α – sin² α                                cos 2 α = 2 cos² α – 1                     cos 2 α = 1 – sin² α

sin 2 α = 2 * sin α * cos α                            

tg 2 α = 2*tg α / (1 – tg² α),   gdy cos α ≠ 0 i cos 2 α ≠ 0

 

 

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

 

sin α + sin β = 2 * sin (α + β) /2 * cos (α – β) /2

cos α + cos β = 2 * cos (α + β) /2 * cos (α – β) /2

sin α - sin β = 2 * sin (α - β) /2 * cos (α + β) /2

cos α - cos β = 2 * sin (α + β) /2 * sin (α – β) /2