Funkcja kwadratowa i nierówność kwadratowa z parametrem

Opis	Wzory
Funkcja  kwadratowa – trójmian kwadratowy – równanie w postaci ogólnej	f(x) = a· x2 + b· x + c - postać ogólna równania	a, b, c ∈ R i a ≠0, x ∈ R Wykresem jest parabola Df = R – dziedzina funkcji
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej	f(x) = a(x – p)2 + q a ≠ 0 (p, q) – współrzędne wierzchołka paraboli	p = xW = -b/(2a) q  = yW = -∆ / (4*a)
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej gdy są 2 miejsca zerowe:  x1 i x2  (∆ > 0) lub pierwiastek podwójny x0   (∆ = 0)	f(x) = a· (x –x1)·(x - x2) jeśli ∆ > 0 f(x) = a· (x – x0)2 jeśli ∆ = 0	x1 = (-b - √∆) / (2*a) x2 = (-b + √∆) / (2*a) x0 = -b/(2*a)
Postać normalna funkcji kwadratowej	x2 + p·x + q = 0	x1 = -p/2 - √((p/2)2 – q) x2 = -p/2 + √((p/2)2 – q) gdy (p/2)2 – q >= 0
Warunek by funkcja była kwadratowa	a ≠ 0
Równanie kwadratowe	a· x2 + b· x + c = 0	a ≠ 0
Równanie kwadratowe niezupełne	b lub c są równe 0
Wyróżnik funkcji kwadratowej  ∆	∆ = b2 -4· a· c	∆ < 0 – brak miejsc zerowych
Pierwiastki funkcji kwadratowej  - miejsca zerowe – 2 miejsca zerowe gdy ∆  > 0	x1 = (-b - √∆) / (2*a)	x2 = (-b + √∆) / (2*a)
Pierwiastek podwójny x0, gdy ∆ = 0	x0 = -b/2a
Współrzędne wierzchołka W = (p, q) Jeżeli miejscami zerowymi są x1 i x2	p = (x1 + x2)/2 = -b/(2a) q = f(p)	p = -b/(2a) q = -∆ / (4*a)
Wzory Viete’a	x1 + x2 = -b/a = -b:a	x1*x2 = c/a = c:a
x12 + x22	(x1+x2)2 – 2·x1·x2	(-b/a)2 – 2*(c/a)
1/x1 + 1/x2	(x1 + x2) /(x1*x2)	(b/a)/(c/a) = -b/c
Nierówności kwadratowe f(x) >0;  f(x) < 0; f(x) ≥0; f(x) ≤ 0, gdzie f(x) = a· x2 + b· x + c	f(x) = a· x2 + b· x + c  > 0, < 0, ≥ 0; ≤ 0	Algorytm: - Obliczyć miejsca zerowe (jak są) - naszkicować wykres - określić zbiór argumentów,  dla których nierówność spełniona

 

 

Warunki występujące w równaniu kwadratowym  ax² + bx + c = 0  z parametrem

 

Parametr jest wartością (liczbą) rzeczywistą, która wpływa na liczbę rozwiązań równania.

Równanie kwadratowe z niewiadomą x o postaci  ax² + bx +x = 0 jest równaniem:

·         kwadratowym, gdy  a ≠ 0

·         liniowym, gdy   a = 0

 

 

Opis	Warunki w równaniu kwadratowym lub nierówności
Równanie kwadratowe z parametrem
Równanie kwadratowe posiada co najmniej jedno rozwiązanie	a ≠ 0 ∆  ≥0	∆ = b2 -4ac
Równanie kwadratowe posiada 2 różne rozwiązania	a ≠ 0 ∆  >0
Równanie kwadratowe posiada tylko jedno rozwiązanie	a ≠ 0 ∆  = 0
Równanie (niekoniecznie kwadratowe – może być liniowe) ma jedno rozwiązanie	a ≠ 0 ∆  = 0 (równanie kwadratowe)	a = 0 b ≠ 0 (równanie liniowe)
Równanie kwadratowe nie posiada rozwiązania	a ≠ 0 ∆  < 0
Równanie (nie musi być kwadratowe) nie posiada rozwiązania	a ≠ 0 ∆  < 0	a=0 b=0 c ≠ 0
Funkcja kwadratowa posiada 2 pierwiastki różnych znaków	a ≠ 0 ∆  >0 x1*x2 < 0	a ≠ 0 b2 -4ac > 0 c/a < 0
Funkcja kwadratowa posiada 2 pierwiastki jednakowych znaków	a ≠ 0 ∆  >0 x1*x2 > 0	a ≠ 0 b2 -4ac > 0 c/a > 0
Funkcja kwadratowa posiada 2 różne pierwiastki dodatnie	a ≠ 0 ∆  >0 x1*x2 > 0 x1  + x2 > 0	a ≠ 0 b2 -4ac > 0 c/a > 0 -b/a  > 0
Funkcja kwadratowa posiada 2 pierwiastki dodatnie (jeden może być podwójny – x0)	a ≠ 0 ∆  ≥0 x1*x2 > 0 x1  + x2 > 0	a ≠ 0 b2 -4ac ≥ 0 c/a > 0 -b/a  > 0
Funkcja kwadratowa posiada 2 różne pierwiastki ujemne	a ≠ 0 ∆  >0 x1*x2 > 0 x1  + x2 < 0	a ≠ 0 b2 -4ac > 0 c/a > 0 -b/a  <  0
Funkcja kwadratowa posiada 2 pierwiastki ujemne (jeden może być podwójny – x0)	a ≠ 0 ∆  ≥ 0 x1*x2 > 0 x1  + x2 < 0	a ≠ 0 b2 -4ac ≥ 0 c/a > 0 -b/a  <  0
Określić liczbę rozwiązań równania kwadratowego	a=0 – funkcja liniowa, może mieć 1 rozwiązanie, nie mieć gdy prosta równoległa do osi x (nie pokrywa się z osią x)	a ≠ 0  ∆<0  - nie ma rozwiązań ∆=0   - jedno rozwiązanie ∆>0  – 2 rozwiązania
Rozwiązać równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem m	a=0 – funkcja liniowa, może mieć 1 rozwiązanie, nie mieć gdy prosta równoległa do osi x (nie pokrywa się z osią x)	a ≠ 0  ∆=0   - jedno rozwiązanie ∆>0  – 2 rozwiązania
Dla jakich warunków równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem m ma 2 różne pierwiastki mniejsze od  k	Warunki: ∆>0  f(k) < 0 Xw < k
Dla jakich warunków równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem m ma 2 różne pierwiastki większe od  k	Warunki: ∆>0  f(k) > 0 Xw > k
Nierówność kwadratowa z parametrem
Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych f(x) < 0  lub  f(x) > 0
f(x) >  0 dla x  ∈ R	a =0 Prosta nie może przecinać osi  (ax+b>0 nie spełnia warunku). Prosta równoległa do osi x, powyżej osi x - równanie typu  y > 0	Układ warunków: { a >  0 { ∆  < 0
f(x) <  0 dla x  ∈ R	a =0 Prosta nie może przecinać osi x (równanie typu ax+b<0 nie spełnia warunku) Prosta || do osi x, leżąca poniżej osi x -  równanie typu  y < 0	Układ warunków: { a <  0 { ∆  < 0

 

 

Warunki  w zadaniach z parametrem

Równanie z niewiadomą x o postaci  ax² + bx +x = 0 jest równaniem:
kwadratowym, gdy  a ≠ 0
liniowym, gdy   a = 0

Zadania:

1  Dla jakich wartości parametru m równanie jest

  1)  linowe, 2) kwadratowe

Sprawdzamy warunek a = 0 – równanie liniowe  i a ≠ 0 – równanie kwadratowe

 

2  W zależności od wartości  parametru m określ  liczbę pierwiastków równania

(1)          a = 0  – równanie liniowe, które może mieć jedno rozwiązanie
(2)          a ≠ 0  – równanie kwadratowe
a)            0  pierwiastków gdy       ∆<0  i  a ≠ 0
b)           1  pierwiastek,  gdy        ∆=0  i  a ≠ 0
c)            2  pierwiastki,  gdy          ∆>0  i  a ≠ 0

 

 

3  Określ  liczbę pierwiastków równania z niewiadomą  x i parametrem  m

(1)          a = 0      - równanie liniowe – może być jeden pierwiastek lub brak gdy prosta || do osi x
(2)          a ≠ 0
a)            ∆=0  i  a ≠ 0         - 1 pierwiastek
b)           ∆>0  i  a ≠ 0         - 2 pierwiastki

 

 

4  Rozwiąż równanie z niewiadomą x i parametrem m

(1)          a = 0      - równanie liniowe – może być jeden pierwiastek lub brak gdy prosta || do osi x
(2)          a ≠ 0      - równanie kwadratowe

a)            a ≠ 0 i   ∆=0         - 1 pierwiastek
b)           a ≠ 0  i  ∆>0         - 2 pierwiastki

 

 

5  Warunki jakie spełniają współczynniki  a, b, c oraz wyróżnik  ∆  gdy równanie ma:

 

1)  2 pierwiastki różnych znaków:            a ≠ 0 i   ∆>0  i  x₁* x₂ < 0, czyli  c/a < 0

2)  2 pierwiastki jednakowych znaków:  a ≠ 0 i   ∆>0  i  x₁* x₂ > 0, czyli  c/a > 0

3)  2 pierwiastki dodatnie:           a ≠ 0 i   ∆>0  i  x₁* x₂ > 0, czyli  c/a > 0  i   x₁ + x₂ > 0, czyli  –b/a > 0

4)  2 pierwiastki ujemne:             a ≠ 0 i   ∆>0  i  x₁* x₂ > 0, czyli  c/a > 0  i   x₁ + x₂ < 0, czyli  –b/a < 0

5)   co najmniej 1 pierwiastek:   a)  a=0,  b ≠ 0  lub  b)  a ≠ 0  i   ∆>=0     lub   c)   a = b = c = 0

 

 

6  Oblicz wartości parametru k, dla których równanie kwadratowe z parametrem k
i współczynnikiem  a> 0  ma  co najmniej 1 pierwiastek  ujemy

 

1)  a > 0, ∆=0 ,  x0 < 0, czyli 2*x0 < 0, czyli x0 + x0 = x1 + x2 = -b/a <0

2)  a > 0, ∆>0 , x1*x2 < 0 , czyli c/a < 0   (x1 < 0,   x2 > 0  - jeden pierwiastek ujemny, jeden dodatni)

3)  a > 0, ∆>0 , x1*x2 >= 0 , czyli c/a >= 0  ( x1 < 0  i  x2 <= 0  – oba pierwiastki ujemne)
lub x1 < 0 a x2=0 – oba pierwiastki niedodatnie),    x1 + x2 < 0, czyli  –b/a <0

 

 

7  Oblicz wartości parametru k, dla których równanie kwadratowe z parametrem k
i współczynnikiem  a> 0  ma  co najmniej 1 pierwiastek  dodatni

 

1)  a > 0, ∆=0 ,  x0 > 0, czyli 2*x0 > 0, czyli x0 + x0 = x1 + x2 = -b/a >0

2)  a > 0, ∆>0 , x1*x2 < 0 , czyli c/a < 0   (x1 < 0,   x2 > 0  - jeden pierwiastek ujemny, jeden dodatni)

3)  a > 0, ∆>0 , x1*x2 >= 0 , czyli c/a >= 0  ( x1 >= 0  i  x2 > 0 – oba pierwiastki  nieujemne),
x1+x2 >=0 , czyli  –b/a >=0

 

 

8. Pierwiastkami  równania  kwadratowego z parametrem m są liczby x1 i x2.
Wyraź w zależności od parametru  m  wartość wyrażenia:

 

a)            x₁² + x₂²

x₁² + x₂²  =    x₁² + 2x₁x₂ +  x₂²  - 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)²   - 2x₁x₂ = (-b/a)² – 2*c/a = (b² – 2ac) / a²

b)           x₁³ + x₂³  
 x₁³ + x₂³  = (x1 = x2)*(x1^2  - x1*x2 + x2^2) =  (x1 + x2) * (x1^2 + x2^2 – x1*x2) =
(-b/a) * [ (-b/a)^2 – 2*(c/a) – c/a)] = (-b/a) * [ (-b/a)^2 – 2*(c/a) – c/a)]

c)            1/x₁ + 1/x₂
1/x1 + 1/x2 = (x1+x2)/(x1*x2) = -b/a : c/a = -b/a * a * a/c = -b/c

d)           (x₁ - x₂)²

 (x1 – x2)^2 = x1^2 -2*x1*x2 + x2^2 = x1^2 + x2^2 -2*x1*x2   = (-b/a)² – 2*c/a -2*c/a =
(-b/a)² – 2*c/a -4*c/a

 

 

9.  Dla jakich wartości parametru m równanie kwadratowe (a>0)  ma 2 pierwiastki m1 i m2 spełniające warunek:  x₁² + x₂² = w

 

Warunki:   {  ∆>0   i   x₁² + x₂²  = w , czyli  ∆ > 0 i  (b² – 2ac) / a² = w

 

 

10. Dla jakich wartości parametru m równanie kwadratowe ma rożne pierwiastki spełniające warunek   x1 + x2 = x1*x2 + d

 

Warunki:  ∆>0  i  -b/a = c/a + d

 

 

11. Dla jakich wartości parametru m  kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego  jest równy  d

Warunki:  ∆>0  i  (x1-x2)² = d, 
(x1 – x2)^2 = x1^2 – 2*x1*x2  + x2^2 = x1^2 + 2*x1*x2  + x2^2 – 4*x1*x2 =   (x1 + x2)^2 – 4*x1*x2 =
= (-b/a)^2 – 4*(c/a)
Warunki  ostateczne:    ∆>0    i    (-b/a)² – 2*c/a -4*c/a = d

 

 

12. Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów równania kwadratowego ma najmniejszą wartość

 

 ∆>=0  oraz  g(x) =  x₁² + x₂² = minimum

g(x) = x₁² + x₂² = (x1+x2)^2 – 2*x`1*x2 = (-b/a)^2 – 2*c/a

Obliczamy  minimum funkcji g(x) współrzędne wierzchołka paraboli  g(x): p = -b/(2*a) – wartość parametru m

 

 

13. Ustal dla jakich wartości parametru k równanie x2 -2mx + (4m – k) = 0 ma 2 pierwiastki dla każdej liczby rzeczywistej m

 

a <> 0; ∆>=0 ; m ∈ R
∆=4m² -16m + 4k
∆m  < 0;  ∆m  = 256 - 64k² < 0  à 4 - k² < 0   k² > 4  k > |2|

 

14. Ustal dla jakich wartości parametru m oba pierwiastki  równania :

a)  są większe od d

a <> 0;  ∆ > 0; f(d) > 0

b)  są mniejsze od  e

 a <> 0;  ∆ > 0; f(e) > 0

c)  należą do przedziału  <0; g>

a <> 0;  ∆ > 0;  f(g) ≥  0

Nierówność  kwadratowa  z  parametrem

 

 

1.  Rozwiąż nierówność   mx² + d > 0 z parametrem m  i określ warunki istnienia rozwiązania
w zależności od parametru m

Lewa strona nierówności ma postać trójmianu:  f(x) = ax² + bx + c, gdzie a = m, b = 0, c = d
Nierówność  mx² + d > 0 rozwiązujemy, rozpatrując 2 przypadki:

1)            a = 0 à m=0      f(x) =d                  x ∈ R, gdy m = 0
2)            a ≠ 0, czyli  m ≠ 0

a)  m > 0.
Wykres paraboli o gałęziach skierowanych do góry,  o wierzchołku (0, d)
– o d powyżej osi x . x ∈ R, gdy m > 0

b)  m < 0.
Wykres paraboli o gałęziach skierowanych w dół, o wierzchołku (0, d) – o d powyżej osi x .
Miejsca zerowe x1 = -sqrt((-d/m) = - √(-d/m) ,  x2 = sqrt(-d/m) = √(-d/m)

x ∈ (x1, x2) , gdy m < 0
Odp.   x ∈ R, gdy m >= 0,  x ∈ (x1, x2) , gdy m < 0

 

 

2  Rozwiąż  nierówność  x² –mx +d  > 0  (d > 0)  oraz określ warunki istnienia rozwiązania
w zależności od parametru m

 

Nierówność kwadratowa bo  a =1, na którą ma wpływ ∆
∆ = m² -4d          m² = 4d                m1 = -2√d,  m2 = 2√d

∆ = 0 gdy m ∈ {-2√d,   2√d}
∆ <  0 gdy m ∈ (-2√d;   2√d)
∆ >  0 gdy m ∈ (-∞; -2√d) ∪   (2√d)  +∞)

Rozpatrujemy 3 przypadki:  ∆=0,  ∆<0,   ∆> 0

1)  ∆=0,  gdy m = -2√d  lub m = 2√d  
Po podstawieniu za m:
x² + 2√d + d > 0 à (x+√d)² > 0   x² - 2√d + d > 0 à (x-√d)² > 0
Czyli   x ≠ -√d    gdy m = -2√d   i   x ≠ √d   gdy m = 2√d 

 

 

2)  ∆< 0,  gdy m  ∈ (-2√d;   2√d )  to x  ∈ R

 

3)  ∆ >  0 gdy m ∈ (-∞; -2√d) ∪   (2√d)  +∞)

a)   m ∈ (-∞; -2√d)
x1 = (m - √(m2 – 4d))/2,         x2  = (m + √(m2 – 4d))/2;        x1 < x2 < 0

b)   m ∈  (2√d)  +∞)
x1 = (m - √(m2 – 4d))/2,         x2  = (m + √(m2 – 4d))/2;       0 < x1 < x2
gdy   m ∈ (-∞; -2√d) ∪   (2√d)  +∞)  to  x ∈ (-∞;  x1 ∪   (x2  +∞)

 

Odpowiedź
x ≠ -√d    gdy  m = -2√d   i   x ≠ √d   gdy  m = 2√d 
x  ∈ R    gdy    m  ∈ (-2√d;   2√d ) 

x  ∈   (-∞;  m - √(m2 – 4d))/2 ) ∪   (m - √(m2 – 4d))/2 );  +∞),  gdy  m ∈ (-∞; -2√d) ∪ ((2√d) ; +∞)

 

 

 

3  Określ, dla jakich wartości parametru m  zbiorem wartości nierówności  jest zbiór liczb rzeczywistych R

 

Rozpatrujemy 2 przypadki

(1)    a = 0,            (2)  a ≠ 0

 

(1)  a = 0.  Wykresem  równania jest prosta  y = ax +b – przecina oś  x  lub y = b – równoległa do osi x .
Jeżeli prosta równoległa do osi x  leży powyżej osi x to spełnia równanie dla nierówności  o znaku >,
a jeśli leży poniżej to spełnia równanie o znaku < - wtedy x ∈ R.

(2)  a ≠ 0.  Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór R,
gdy parabola będąca wykresem trójmianu leży odpowiednio nad osią x dla znaku  nierówności  > lub poniżej dla znaku  <.

Rozpatrujemy układ warunków:

a > 0 i  ∆ < 0  dla znaku nierówności >

a < 0 i  ∆ < 0 dla znaku nierówności  <

i uwzględniając te warunki określamy warunki na parametr, by nierówność była spełniona – zbiorem rozwiązań nierówności był zbiór R.

 

 

4. Dla jakich wartości parametru k  funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej

(1)  a = 0  równanie typu  x = a, gdzie a > 0  lub a > 0 spełnia  warunek zadania  x  ∈ R    

(2)    a > 0  i  ∆ < 0 – z tego układu warunków możemy znaleźć rozwiązanie

 

5. Dla jakich wartości parametru k  zbiorem wartości funkcji kwadratowej  f(x) jest
zbiór liczb nieujemnych

Warunki:

(1)  a = 0
(2)  a > 0  i   ∆ = 0

 

5. Dla jakich wartości parametru k  zbiorem wartości funkcji kwadratowej  f(x) jest
zbiór liczb niedodatnich

Warunki:

(1)  a = 0
(2)  a > 0  i   ∆ = 0

 

6. Dla jakich wartości parametru m zbiorem wartości funkcji kwadratowej  f(x)  jest zbiór Yf, taki,
że  Y_f = <y₀;  +∞)

Tworzymy nierówność  g(x) = f(x) – y₀   ≥ 0 oraz dla niej układ warunków

 

 

7. Określ dla jakich wartości parametru m zbiór liczb rzeczywistych  R jest dziedziną funkcji  f,
gdy  f(x) = √(g(x),  gdzie g(x) – funkcja kwadratowa
Warunek g(x) ≥ 0 stąd
a > 0  i   ∆ ≥ 0

 

 

 

8. Określ dla jakich wartości parametru m zbiór liczb rzeczywistych  R jest dziedziną funkcji  f,
gdy   f(x) = 1/ √(g(x),   gdzie g(x) – funkcja kwadratowa
Warunek g(x) > 0 stąd
a > 0  i   ∆ > 0