Procenty i promile

1 %  = 1/100 = 0,01;  p% = p/100;            100% = 1
1 ‰ = 1/1000            p‰ = p / 1000        1000‰ = 1

 

Jeden procent (1%) pewnej liczby (wielkości)  a    to  jedna setna  tej liczby (wielkości)

 

Słowo procent pochodzi od łacińskiego słowa pro centum (na sto) i oznacza setną cześć pewnej wielkości.
Oznaczamy symbolem %,

Procent to ułamek o mianowniku 100.

Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć ją przez 100, a za wynikiem dopisać symbol %,  np. 0,52 = 52%.

Aby zamienić procent na liczbę, należy procent podzielić przez 100%, czyli podzielić procent przez 100 i pominąć znak %;  np. 25% = 0,25

 

Promil to tysięczna część pewnej wielkości lub liczby

Promil (łac. pro mille – na tysiąc) – jedna tysięczna pewnej wartości liczbowej, zwanej podstawą.
Oznaczany symbolem ‰. Stanowi dziesiątą część procenta. Mnożnikiem do przeliczeń  liczby na promile jest 1000.

 

1% liczby a = 1/100 * a        p%  liczby a  =  p/100 * a

1‰ liczby a = 1/1000 * a      p‰  liczby a  =  p/1000 * a

 

 

W obliczeniach procentowych często korzystamy z proporcji:

a : b = c : d                a / b  =  c / d

Aby obliczyć czwarty wyraz stosujemy „regułę  trzech”

a = b*c/d;       b = a*d / c;     c = a*d / b;     d = b*c / a

 

 

 

PROCENTY – zasada przeliczeń

 

W obliczeniach procentowych występują 3 wielkości:

a – tzw. baza, czyli wielkość, którą przyjmujemy za 100%

b – wielkość, której stosunek do bazy a wyznaczamy

p – stopa procentowa, czyli liczba procentowa

Wśród   tych wielkości zachodzi następująca zależność:

p : 100  =  b : a,  czyli  p / 100 = b / a

lub zapis w postaci proporcji:

a    to   100%

b    to    p%

Można wyróżnić 3 typy zadań w obliczeniach procentowych:

-  Obliczanie części b, przy danej stopie procentowej p i znanej bazie a     -  obliczenie procentu p danej liczby a  (obliczane  b)

-  Obliczanie bazy a, gdy dana jest liczba procentów p i część b                -  obliczenie liczby a na podstawie jej procentu p  (obliczane  a)

-  Obliczanie liczby procentów p, przy danej bazie a i części b                   -  obliczenie jakim procentem jednej liczby a  jest druga liczba b  (obliczane  p)

 

1. Zamiana procentu p na ułamek (liczbę)  a

Należy liczbę procentów  podzielić przez 100  i pominąć znak %  - liczba jest  100 razy mniejsza niż odpowiadający jej procent ..
100% odpowiada 1;     1 % odpowiada 1/100

a = p% / 100%    lub  a = 1/100 * p    lub   a = 0.01*p

Przykłady

1% = 1:100 = 1/100                                                              lub        1% = 0,01      Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo

25% = 25/100 = ¼ = 0,25                                                     lub       25% = 0,25     Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo

           

0,2% = 0,2 : 100 = 2 : 1000  = 1/500                                    lub       0,2% = 0,02    Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo

10,5% = 10.5 : 100 = 105 : 1000 = 105/100 = 21/200          lub   10,5% = 0,105    Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo

250% = 250/100 = 2,5                                                          lub       250% = 2,5     Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo

2. Zamiana ułamka (liczby)  a   na procent p

Należy pomnożyć ułamek przez 100 i dopisać symbol %, czyli pomnożyć liczbę (ułamek) przez 100%

Liczba w procentach  jest 100 razy większa  od  liczby odpowiadającej procentom

p% = a*100%  

Przykłady

½ =  ½ * 100% = 100 /2 %  = 50%                lub  ½ = 0,5               0,5 * 100% = 50 %    Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo

¼ = ¼ * 100% = 100/4 % = 25%                 lub  ¼ = 0,25             0,25*100% = 25%      Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo        

2/5 = 2/5 * 100% = 200/5 % = 40%              lub  2/5 = 0,40            0,40*100% = 40%      Przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo        

¾ = ¾ * 100% = 300/4 % = 75%

1 ½  = 1 ½ * 100% = 3/2 * 100% = 300/2 % = 150%

15 = 15 * 100% = 150%

.

3. Obliczenie procentu p  danej liczby  a  (niewiadoma b, oznaczana często przez x)

Dane p%   i  liczba  a  (mająca 100% wartości);  szukamy liczby  b =  p% wartości  a
Aby obliczyć procent danej liczby, zamieniamy procent  na liczbę dziesiętną bądź ułamek zwykły - dzielimy przez 100   i mnożymy przez daną liczbę 

p%  z  a = p%/100% * a  = p/100 * a = p*a / 100

Proporcja do obliczenia  niewiadomej  b 
100%       a
p%          b
b = p% * a / 100%

b  =  p%/ 100% *  a  =   p/100 * a  =   p*a / 100

Przykłady:

30%  liczby 100 = 30% / 100% * 100 = 30               lub 0,30 * 100 = 30

15% liczby 200 = 15/100 * 200 = 15*2 = 30            lub   0,15 * 200 = 30 

17% liczby 11  = 17/100 * 11 = 187/100 = 1,87       lub  0,17 * 11 = 1,87

1,5% liczby 30 = 1,5/100 * 30 = 15/1000 * 30 = 15*3 / 100 = 45/100 = 0,45    lub 0,015*30 = 0,45

40% liczby 16,4 = 0,40*16,4 = 0,4*16,4 = 6,56

 

 

4. Obliczenie liczby a na podstawie jej procentu 

Dane p% niewiadomej liczby a jest równe b;   szukamy liczby a = x  (niewiadoma)

Aby  obliczyć liczbę, gdy dany jest jej procent, należy:
I sposób: Ułożyć  odpowiednie równanie

p% z a = b;   p% * a  = b         

częsty zapis:  p%*x = b  à    p% / 100  * x =  b  à  x  = a =  b*100/p
a = b/p% = b / (p%/100%) = b * 100% /p%


a = b*100 / p  

Można ułożyć równanie korzystając z proporcji:
Proporcja do obliczenia  niewiadomej  x = a 
 a      to     100%
 b       to    p%
a  = x =  b*100% /  p% 
a = b* 100% / p%  =  b * 100 / p

II sposób:  Obliczyć 1% tej liczby, a  następnie wynik pomnożyć przez 100,
otrzymując w ten sposób 100% liczby, czyli szukaną liczbę
Przykład:
50%  z  x = 100 / 50
1%  z  x = 2
100% x = 100 * 2 = 200 ,  czyli a = x = 200

Przykłady

 

1) Wyznacz liczbę, jeśli wiadomo, że 25% tej liczby to 52

 

I sposób:

a)  Układamy równanie

x – szukana liczba

25% * x = 52   

0,25 * x = 52    / * 100  - mnożymy obie strony równania przez 100

25x = 5200  / 25

x = 208

b)  Ze wzoru: 
x = 52*100 / 25 =  5200 / 25 = 208

c) Z proporcji
x          100%

52        25%

x = 52*100% / 25% = 52*4 = 208

 

II sposób

25%     =  52  / 25

1%    = 52: 25 = 5/25 = 2,08

100% = 100 * 2,08 = 208

 

2) Wyznacz liczbę, jeśli 15% tej liczby wynosi 16

I 
15% * x = 16

0,15 *x = 16

x =  16 / 0,15 = 16*100/15 = 16*20/3 = 320/3 = 106 2/3 = 106,(6)

II

15%     16

1%       16/15

100%   16/15*100 = 16*20 / 3 = 320/3 = 106 i 2/3 = 106,(6)

Szukaną liczbą jest liczba 106 i 2/3

 

.

5. Obliczenie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Dane liczby a  oraz  b
Oblicz jakim procentem liczby a jest liczba b

p% = b/a * 100%

Proporcja do obliczenia  procentu p
 a         100%
 b          p%
p% = b * 100% / a  =  b/a * 100%

Przykłady

 

1)  Oblicz jakim procentem liczby 50 jest liczba 12

 

I sposób:

12/50 *100% = 12*2% = 24%

II sposób

x%       12

100%   50

x = 12*100%/50 = 1200% /50 = 24%

 

III sposób

12/50 = x   - stosunek liczb (ułamek)

x = x% / 100%

12/50 = x%/100%   / * 50

x%  / 100 * 50 = 12   / * 100

50 * x%  = 1200  / : 50

x% = 1200/50 = 24%

 

Odp.   Liczba 12 stanowi 24% liczby 50

 

2)  Jakim procentem liczby 120 jest liczba 36

 

I – ze wzoru

36/120 * 100% = 0,3 * 120 = 30

 

II - z proporcji

x%       36

100%   120

x% = 36*100% /120 = 3600% / 120 = 30%

 

III – z równania

x%/100  * 120 = 36    / * 100

120*x% = 3600

x% = 3600/120 = 30%

 

Odp. Liczba 36 stanowi 30% liczby 120

 

3)  Jakim procentem liczby 40 jest liczba 240

240/40 * 100% =  6*100% = 600%

Odp.  Liczba 240 stanowi 600% liczby 40

 

 

 

6. Obliczenie dochodu - kapitalizacja odsetek,  procent prosty



Procent prosty – dochód w postaci odsetek nie jest doliczany do wkładu i nie procentuje wraz z nim w następnym okresie oszczędzania

W przypadku stosowania procentu prostego odsetki nie są doliczane do kapitału na następny okres, czyli w następnym okresie
nadal podlega oprocentowaniu tylko sam początkowy wkład pieniężny

Dane:  

k – kapitał złożony w banku,  p% – oprocentowanie (stopa procentowa np. w skali roku),  n - ilość okresów (np. lat)   (jeżeli dane  miesiące m to  n = m/12)

 

Odsetki: 

d = k * p% /100% * n

 

Kapitał po n okresach składkowych:

Kn = k + d

Przykład

 

Dane:

k = 2000

p = 8%

n = 2 lata

 

Obliczenie odsetek

d = 2000 * 8%/ / 100% * 2 = 2000 * 0,08 * 2 =  320 zł

 

Obliczenie kapitału  po 2 latach

K2 = 2000 + 320 = 2320 zł

 

Lokata na procent prosty i procent składany

 Procent prosty – dochód w postaci odsetek nie jest doliczany do wkładu i nie procentuje wraz z nim w następnym okresie oszczędzania

W przypadku stosowania procentu prostego odsetki nie są doliczane do kapitału na następny okres, czyli w następnym okresie
nadal podlega oprocentowaniu tylko sam początkowy wkład pieniężny

 

Odsetki i kapitał przy oprocentowaniu prostym

Odsetki za okres

1 roku

m miesięcy

t dni

n lat

p*K / 100

p*K*m / (100*12)

p*K*t / (100*365)

p*K*n /100

Kapitał po okresie

K*(1+p/100)

K*(1+p*m*/(100*12))

K*(1 + p*t/(100*365))

K*(1 + p*n /100)

K – kapitał złożony w banku, p – oprocentowanie (stopa procentowa)

 

Przykład:
Kowalski wpłacił do banku 2000 zł i założył lokatę na 2 lata na procent prosty.
Roczna stopa oprocentowania była równa 8% i miała być stała przez cały okres lokaty.
Oblicz stan Kowalskiego po upływie 2 lat.

Rozwiązanie:

K = 2000 zł, p = 8%

Stan konta po upływie

1 roku: 2000 zł + odsetki:  8 * 2000 / 100 = 2000 + 160 = 2160 zł

2 lat: 2000 zł + odsetki:  8*2000*24 / (100*12) = 2000 + 320 = 2320 zł

Obliczenie bezpośrednie według wzoru z tabeli – po 2 latach

K = 2000*(1 + 8* 2 /100) = 2000*(1 + 2 * 8/100) = 2000*(1 + 0,16) = 2000 * 1,16 = 2320 zł

 


=============================================================================================

PROMILE

 

Promil – 1/1000 część pewnej wielkości lub liczby

Jest  to ułamek o mianowniku 1000 lub ułamkiem dziesiętnym z trzema miejscami po przecinku

1‰ = 1/1000 = 0,1%

1% = 10‰

 15‰ = 15/1000 = 0,015

Promilami posługujemy się wówczas, gdy omawiamy bardzo małe części jakiejś większej całości,
na przykład zawartość alkoholu we krwi, próby złota, srebra.

 

Zmiana promili na liczbę:

125‰ = 125/1000 = 1/8 = 0,125

 

Zmiana liczby na promile

1/8 * 1000‰ = 1000/8 = 125‰ 

Obliczanie promila danej liczby

 Zadanie: obliczyć 15‰  liczby 600.

15/1000 * 600 = 9

 

Zamiana promili na procenty (pomniejszamy promile 10 razy)

50‰ = 50/10 % = 5%

 

Zamiana procentów na promile (powiększamy procent 10 razy)

20% = 20*10 %o = 200‰

 

 

.